5. Para cada n ≥ 1 , seja f n x = n x 1 + n 2 x 4 . Considere a função f dada por

f x = lim n → ∞ ⁡ f n ( x )

  1. Esboce os gráficos de f e das f n .
  2. f n , n ≥ 1 , converge uniformemente a f em R ? E em [ a , + ∞ [ , com a > 0 ?

Passo 1

Letra (a)

O domínio de f é o conjunto de todos os x para os quais a sequência f n ( x ) converge. Sendo assim temos que proceder da seguinte forma:

f x = lim n → ∞ ⁡ f n x = lim n → ∞ ⁡ n x 1 + n 2 x 4

Como temos uma indeterminação do tipo infinito sobre infinito, podemos aplicar L’H.

lim n → ∞ ⁡ x 2 n x 4 = 0

Logo, D f = {   x ∈ R       t a l   q u e   x = R

O esboço do gráfico de f é dado por:

O esboço do gráfico de f n para um dos valores de n é dado por:

Passo 2

Letra (b)

Para convergência ser uniforme, dado ε > 0 tem que existir n 0   (que só depende de ε ) tal que

n > n 0 → n x n 2 x 4 + 1 - 0 < ε

Para todo x real. Como, para todo n > n 0

lim x → ∞ ⁡ n x n 2 x 4 + 1 - 0 = 0

Resulta que a convergência é uniforme em R . E como o outro intervalo se encontra dentro do anterior, podemos que ela converge uniformemente no outro intervalor também.

Resposta

  1. Figura
  2. Demonstração
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