Calcule a soma da série dada.

sum_(n = 1)^(oo) n alpha^n , 0 < alpha < 1

Passo 1

Bom galerinha, se nós analisarmos a série do enunciado podemos perceber que ela é geométrica, certo?

Se olharmos a série:

sum_(n = 0)^(oo) alpha^n

Podemos ver que:

r = alpha

s_0 = 1

Teremos:

sum_(n = 0)^(oo) alpha^n = (1)/(1 - alpha)

Se nós derivarmos esta função:

(d)/(d alpha) sum_(n = 0)^(oo) alpha^n = sum_(n = 1)^(oo) n alpha^n

(d)/(d alpha) ((1)/(1 - alpha)) = (alpha)/((1 - alpha)^2)

Sendo assim:

sum_(n = 1)^(oo) n alpha^n = (alpha)/((1 - alpha)^2)

Portanto, nossa série vai convergir para (alpha)/((1 - alpha)^2) !!

Tranquilinha, né?

Resposta

sum_(n = 1)^(oo) n alpha^n = (alpha)/((1 - alpha)^2)

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