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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol. 4 - Ed: 5º - Capítulo 1.1 - Ex. 2j

Calcule, caso exista, underset(n -> + oo)(lim) a_n , sendo:

a_n = int_0^n (1)/(1 + x^2) d x

Passo 1

O enunciado pede para que calculemos

underset(n -> + oo)(lim) a_n = underset(n -> + oo)(l i m) int_0^n (1)/(1 + x^2) d x

Passo 2

Essa integral pode ser resolvida pela identidade

int (1)/(1 + x^2) d x = arctan (x)

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underset(n -> + oo)(lim) a_n = underset(n -> + oo)(l i m) [arctan (x)]_0^n

Aplicando os limites de integração. Como arctan (0) = 0 , então

underset(n -> + oo)(lim) a_n = underset(n -> + oo)(l i m) arctan (n)

Passo 3

Por fim vamos aplicar o limite

underset(n -> + oo)(lim) a_n = (pi)/(2)

Resposta

underset(n -> + oo)(lim) a_n = (pi)/(2)

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