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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol. 4 - Ed: 5º - Capítulo 1.1 - Ex. 2k

Calcule, caso exista, underset(n -> + oo)(lim) a_n , sendo:

a_n = int_2^n (1)/(x^2 - x) d x

Passo 1

O enunciado pede para que calculemos

underset(n -> + oo)(lim) a_n = underset(n -> + oo)(l i m) int_2^n (1)/(x^2 - x) d x

Passo 2

Vamos devagar aqui, vai parecer complicado, mas você verá que não é...

Primeiro vamos dar uma ajeitada no integrando, separando em frações parciais para que fique “deboa” resolver esta integral

(1)/(x^2 - x) = (A)/(x) + (B)/(x - 1)

Multiplicando os dois lados por (x^2 - x)

1 = A (x - 1) + B x -> 1 = A x - A + B x -> 1 = (A + B) x - A

Por igualdade, podemos achar o valor de A , pois ele vai ser igual a quem não tiver acompanhado de x no lado esquerdo da igualdade

A = - 1

E para achar o valor de B , vamos somar este com o valor de A e igualar a quem tem x do outro lado, ou seja, ninguém

A + B = 0 -> - 1 + B = 0

Assim o B será

B = 1

Logo, o integrando vai ser.

(1)/(x^2 - x) = - (1)/(x) + (1)/(x - 1)

Passo 3

Sendo assim padawan, a integral será.

int_2^n - (1)/(x) + (1)/(x - 1) d x -> int_2^n - (1)/(x) d x + int_2^n (1)/(x - 1) d x

Essas integrais tem como resultado, algumas identidades logarítmicas.

[- ln x]_2^n + [ln (x - 1)]_2^n

Aplicando os limites de integração

- ln n + ln 2 + ln (n - 1) - ln 1

Mas olha ai!!

ln 1 = 0

Usando as propriedades do logaritmo do quociente

ln (n - 1) - ln n = ln ((n - 1)/(n)) = ln (1 - (1)/(n))

Vamos ter

ln 2 + ln (1 - (1)/(n))

Que por fim, através da propriedade da multiplicação teremos,

ln 2 (1 - (1)/(n))

Passo 4

Bora voltar para a aplicação do limite

underset(n -> + oo)(l i m) ln 2 (1 - (1)/(n)) = ln 2 ( 1 - (1)/(oo) ) = ln 2

Este é igual a

ln 2 ( 1 - (1)/(oo) ) = ln 2

Resposta

underset(n -> + oo)(lim) a_n = l n 2

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