Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol. 4 - Ed: 5º - Capítulo 1.1 - Ex. 2c

Calcule, caso exista, underset(n -> + oo)(lim) a_n , sendo a_n igual a

a_n = sum_(k = 0)^n ((1)/(2))^k

Passo 1

Se substituirmos (1)/(2) por t , nosso a_n será:

a_n = sum_(k = 0)^n t^k

Dessa forma

a_n = 1 + t + t^2 + ... + t^n

Multiplicando ambos os lados por t

t a_n = t + t^2 + ... + t^n + t^(n + 1)

Subtraindo membro a membro

a_n - t a_n = 1 - t^(n + 1)

Isolando a_n

a_n = (1 - t^(n + 1))/(1 - t)

Passo 2

O enunciado pede para que calculemos

underset(n -> + oo)(lim) a_n = underset(n -> + oo)(l i m) (1 - t^(n + 1))/(1 - t)

Retirando o fator constante

underset(n -> + oo)(l i m) a_n = (underset(n -> + oo)(l i m) 1 - underset(n -> + oo)(l i m) t^(n + 1))/(1 - t)

Passo 3

Fazendo a substituição de t veremos que

underset(n -> + oo)(l i m) t^(n + 1) = underset(n -> + oo)(l i m) ((1)/(2^(n + 1))) = 0

Logo

underset(n -> + oo)(l i m) a_n = (1)/(1 - t) = (1)/(1 - (1)/(2))

E por fim, cara

underset(n -> + oo)(l i m) a_n = 2

Resposta

underset(n -> + oo)(lim) a_n = 2

Ver Outros Exercícios desse livro