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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol. 4 - Ed: 5º - Capítulo 1.1 - Ex. 2h

Calcule, caso exista, lim n → + ∞ ⁡ a n , sendo:

a n = ∫ 1 n 1 x α d x

Onde α é um numero real dado

Passo 1

O enunciado pede para que calculemos

lim n → + ∞ ⁡ a n =   lim n → + ∞ ⁡ ∫ 1 n 1 x α d x

Passo 2

Aqui possuímos três casos a serem analisados

Se α = 1 teremos

lim n → + ∞ ⁡ ∫ 1 n 1 x d x

A integral resulta em um logaritmo

lim n → + ∞ ⁡ a n = lim n → + ∞ ⁡ ln ⁡ x 1 n

Aplicando os limites de integração

lim n → + ∞ ⁡ a n =   l i m n → + ∞ ln ⁡ n - l i m n → + ∞ ln ⁡ 1

Logo para α = 1

lim n → + ∞ ⁡ a n = ∞  

Passo 3

Se α ≠ 1 teremos

lim n → + ∞ ⁡ a n = lim n → + ∞ ⁡ x 1 - α 1 - α 1 n  

Aplicando os limites de integração

lim n → + ∞ ⁡ a n = lim n → + ∞ ⁡ n 1 - α - 1 1 - α

Passo 4

Se α < 1 significa que

lim n → + ∞ ⁡ a n =   + ∞

Pois o denominador e o expoente de n   serão positivos. E um número muito grande subtraído ou dividido por um numero pequeno continua sendo um número grande.

Se α > 1 nos resultará

lim n → + ∞ ⁡ a n = - 1 1 - α

Isso acontece, pois para α com qualquer valor acima de 1 fará com que o expoente sobre n seja negativo, fazendo com que seu limite seja zero

Resposta

Para α = 1   → lim n → + ∞ ⁡ a n = ∞  

Para α < 1   → lim n → + ∞ ⁡ a n = + ∞  

Para α > 1   → lim n → + ∞ ⁡ a n = - 1 1 - α  

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