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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol. 4 - Ed: 5º - Capítulo 1.1 - Ex. 2d

Calcule, caso exista, underset(n -> + oo)(lim) a_n , sendo.

a_n = sum_(k = 0)^n t^k , 0 < |t| < 1

Passo 1

O termo geral a_n pode ser expandido para

a_n = 1 + t + t^2 + ... + t^n

Multiplicando os dois lados por t

t a_n = t + t^2 + ... + t^n + t^(n + 1)

Ao subtrair termo a termo

a_n - t a_n = 1 + t^(n + 1)

E isolando a_n

a_n = (1 - t^(n + 1))/(1 - t)

Então teremos

underset(n -> + oo)(lim) a_n = underset(n -> + oo)(lim) (1 - t^(n + 1))/(1 - t)

Passo 2

Retirando o termo constante

(1)/(1 - t) * underset(n -> + oo)(l i m) 1 - t^(n + 1)

Como 0 < |t| < 1 ,então

underset(n -> + oo)(l i m) t^(n + 1) = 0

Por fim teremos

underset(n -> + oo)(lim) a_n = (1)/(1 - t)

Resposta

underset(n -> + oo)(lim) a_n = (1)/(1 - t)

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