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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol. 4 - Ed: 5º - Capítulo 1.1 - Ex. 2l

Calcule, caso exista, underset(n -> + oo)(lim) a_n , sendo:

a_n = (n + 1)/(root(3)(n^7 + 2 n + 1))

Passo 1

Podemos ainda arrumar o termo geral, manipulando o numerador de modo que iremos tirar a raiz cubica e elevar o mesmo ao cubo,

a_n = (root(3)((n + 1)^3))/(root(3)(n^7 + 2 n + 1)) = root(3)(((n + 1)^3)/(n^7 + 2 n + 1)) = root(3)(((n^3 + 3 n^2 + 2 n + 1))/((n^7 + 2 n + 1)))

Vamos colocar n^3 em evidencia dentro da raiz

a_n = root(3)((n^3 (1 + (3)/(n) + (2)/(n^2) + (1)/(n^3)))/(n^3 (n^4 + (2)/(n^2) + (1)/(n^3)))) = root(3)(((1 + (3)/(n) + (2)/(n^2) + (1)/(n^3)))/((n^4 + (2)/(n^2) + (1)/(n^3))))

Agora vamos arrumar o limite

underset(n -> + oo)(lim) a_n = underset(n -> + oo)(l i m) root(3)(((1 + (3)/(n) + (2)/(n^2) + (1)/(n^3)))/((n^4 + (2)/(n^2) + (1)/(n^3))))

Parece que ela está mais complicada mas para resolver o limite vai facilitar muito!

Passo 2

Agora vamos aplicar o limite

underset(n -> + oo)(lim) a_n = underset(n -> + oo)(l i m) root(3)(((1 + (3)/(n) + (2)/(n^2) + (1)/(n^3)))/((n^4 + (2)/(n^2) + (1)/(n^3))))

Repara que tudo que tiver sendo divido por n vai tender a zero. Ou seja,

underset(n -> + oo)(lim) a_n = 0

Resposta

underset(n -> + oo)(lim) a_n = 0

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