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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol. 4 - Ed: 5º - Capítulo 1.1 - Ex. 2r

Calcule, caso exista, underset(n -> + oo)(lim) a_n , sendo:

a_n = int_0^n e^(- s x) cos (x) d x , (s > 0)

Passo 1

O enunciado pede para que calculemos

underset(n -> + oo)(lim) a_n = underset(n -> + oo)(l i m) int_0^n e^(- s x) cos (x) d x

Passo 2

Aqui possuímos uma integral por partes, mas vamos devagar, que dá certo.

Vamos chamar a primeira integral de

I_1 = int_0^n e^(- s x) cos (x) d x

Inicialmente vamos relembrar com resolve uma integral por partes. É assim Oh!

int u d v = u v - int v d u

Logo vamos “dar nomes aos bois”

u = e^(- s x) -> d u = - s e^(- s x) d x

d v = cos (x) d x -> v = s e n (x)

Dessa forma I_1 é

I_1 = [e^(- s x) s e n (x)]_0^n - int_0^n s e n (x) (- s e^(- s x)) d x

Passando o termo constante - s para fora da segunda integral

I_1 = e^(- s n) s e n (n) + s int_0^n e^(- s x) s e n (x) d x

Passo 3

Na segunda integral

I_2 = int_0^n e^(- s x) s e n (x) d x

Aqui possuímos novamente uma integral por partes, então.

u = e^(- s x) -> d u = - s e^(- s x) d x

d v = sen (x) d x -> v = - c o s (x)

Ficando com

I_2 = [e^(- s x) (- c o s (x))]_0^n - int_0^n c o s (x) s e^(- s x) d x

Aplicando os limites de integração a primeira parcela e isolando o termo constante s da integral teremos

I_2 = - e^(- s n) c o s (n) + 1 - s int_0^n c o s (x) e^(- s x) d x

Olha que massa! Essa ultima integral é idêntica a nossa primeira integral, ou seja, podemos chama-la de I_1 , então

I_2 = - e^(- s n) c o s (n) + 1 - s I_1

Passo 4

Substituindo I_2 na primeira integral I_1

I_1 = e^(- s n) s e n (n) + s {- e^(- s n) c o s (n) + 1 - s I_1}

Igual a

I_1 = e^(- s n) s e n (n) - s e^(- s n) c o s (n) + s - s^2 I_1

Colocando I_1 em evidencia do lado esquerdo da igualdade

I_1 (1 + s^2) = e^(- s n) s e n (n) - s e^(- s n) c o s (n) + s

Isolando nossa primeira integral

I_1 = (1)/(1 + s^2) [e^(- s n) s e n (n) - s e^(- s n) c o s (n) + s]

Passo 5

Agora basta aplicar o limite

underset(n -> + oo)(lim) a_n = underset(n -> + oo)(l i m) (1)/(1 + s^2) [e^(- s n) s e n (n) - s e^(- s n) c o s (n) + s]

Retirando o termo constante,

(1)/(1 + s^2) * underset(n -> + oo)(l i m) [e^(- s n) s e n (n) - s e^(- s n) c o s (n) + s]

Como o limite as soma é igual à soma dos limites, então

(1)/(1 + s^2) * {underset(n -> + oo)(l i m) e^(- s n) s e n (n) - underset(n -> + oo)(l i m) - s e^(- s n) c o s (n) + underset(n -> + oo)(l i m) s}

Como o s e n (n) e cos (n) são limitados e o underset(n -> + oo)(l i m) e^(- s n) = 0 para s > 0

Então

underset(n -> + oo)(l i m) e^(- s n) s e n (n) = 0

E

underset(n -> + oo)(l i m) e^(- s n) cos (n) = 0

Por fim

underset(n -> + oo)(lim) a_n = (s)/(1 + s^2)

Resposta

underset(n -> + oo)(lim) a_n = (s)/(1 + s^2)

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