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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol. 4 - Ed: 5º - Capítulo 1.1 - Ex. 2e

Calcule, caso exista, underset(n -> + oo)(lim) a_n , sendo:

a_n = (1 + (2)/(n))^n

Lembrete:

underset(n -> + oo)(lim) (1 + (1)/(n))^n = e

Passo 1

O enunciado pede para que calculemos

underset(n -> + oo)(lim) a_n = underset(n -> + oo)(lim) (1 + (2)/(n))^n

Para isso, vamos aplicar o limite fundamental exponencial!

Passo 2

Pelo Limite fundamental exponencial, temos

underset(n -> + oo)(lim) (1 + (1)/(n))^n = e

Repara que o expoente é igual ao denominador. Ambos são n . Então a gente precisa dessa condição para que esse limite seja igual a e .

Então vamos mexer um pouco nessa função, até chegarmos nessa condição. Podemos escrever a_n como

a_n = (1 + (2)/(n))^n = [(1 + (1)/((n)/(2)))^((n)/(2))]^2

Logo

underset(n -> + oo)(lim) a_n = underset(n -> + oo)(lim) [(1 + (1)/((n)/(2)))^((n)/(2))]^2

Repara que o nosso expoente é igual ao nosso denominador. Ambos são (n)/(2) . Então podemos aplicar o nosso limite fundamental exponencial. Que resulta em

underset(n -> + oo)(lim) a_n = e^2

Resposta

underset(n -> + oo)(lim) a_n = e^2

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