Enunciado

Calcule a integral

∫ 0 2 y - 1 2 y + 1   d y

Passo 1

E aí belezinha? Nessa questão aqui temos que fazer um integral de produto de duas funções do primeiro grau.

A coisa mais direta a se fazer é fazer essa multiplicação. Assim, teremos uma função do segundo grau e esse tipo de função sabemos integrar, não é mesmo ? Então, simbora!

Passo 2

Primeiro de tudo vamos abrir esse produto aí dentro da integral

y - 1 2 y + 1 = 2 y 2 + y - 2 y + 1 = 2 y 2 - y + 1

Então a nossa integral fica assim

∫ 0 2 2 y 2 - y + 1 d y

Passo 3

As integrais de y n dão ∫ y n = y n + 1 / ( n + 1 ) , ou seja ∫ y 2 = y 3 / 3 e ∫ y = y 2 / 2   . Ah! A integral de uma constante c c y

∫ 0 2 2 y 2 - y + 1 d y = 2 y 3 3 - y 2 2 + y y = 0 y = 2

= 2 2 3 3 - 2 2 2 + 2 - 2 0 3 3 - 0 2 2 + 0 = 16 3 - 2 + 2

= 16 3

Feshow? :)

Resposta

∫ 0 2 y - 1 2 y + 1   d x = 16 3

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