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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 7.1 - Ex. 11

Calcule a integral.

int arctg 4 t d t

Passo 1

Opa, bora calcular mais uma integral?!

int arctg 4 t d t

Vamos usar Integração por Partes:

int u d v = u v - int v d u

Para escolher o u usamos a seguinte ordem de prioridade:

Vamos fazer então u = arctg 4 t e d v = d t :

d u = (4)/(1 + (4 t)^2) d t = (4)/(1 + 16 t^2) d t

v = t

Vamos substituir agora:

int arctg 4 t d t = t arctg 4 t - int t (4)/(1 + 16 t^2) d t

Pronto, agora temos uma integral mais simples de resolver, vamos lá.

Passo 2

Agora vamos resolver a integral:

int (4 t)/(1 + 16 t^2) d t

Vamos usar uma substituição:

u = 1 + 16 t^2

d u = 32 t d t

d t = (1)/(32 t) d u

Podemos fazer a seguinte manipulação antes de substituir:

(1)/(8) int (8 xx 4 t)/(1 + 16 t^2) d t = (1)/(8) int (32 t)/(1 + 16 t^2) d t

Substituindo:

(1)/(8) int (32 t)/(u) (1)/(32 t) d u = (1)/(8) int (1)/(u) d u

Sacaram o porque da malandragem ali em cima? Resolvendo a integral:

(1)/(8) int (1)/(u) d u = (1)/(8) ln |x| + C

Pronto, agora temos uma integral simples de resolver, vamos lá.

Passo 3

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável t , é só substituir de volta o que você usou no começo:

int (32 t)/(1 + 16 t^2) d t = int (1)/(u) d u = ln |u| + C = (1)/(8) ln |1 + 16 t^2| + C

Vamos agora voltar a expressão original e problema resolvido:

int arctg 4 t d t = t arctg 4 t - (1)/(8) int (32 t)/(1 + 16 t^2) d t = t arctg 4 t - (1)/(8) ln |1 + 16 t^2| + C

Resposta

int arctg 4 t d t = t arctg 4 t - (1)/(8) ln |1 + 16 t^2| + C

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