Calcule a integral.

∫ arctg ⁡ 4 t d t

Passo 1

Opa, bora calcular mais uma integral?!

∫ arctg ⁡ 4 t d t

Vamos usar Integração por Partes:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Para escolher o u usamos a seguinte ordem de prioridade:

Vamos fazer então u = arctg ⁡ 4 t e d v = d t :

d u = 4 1 + 4 t 2 d t = 4 1 + 16 t 2 d t  

v = t

Vamos substituir agora:

∫ arctg ⁡ 4 t d t = t arctg ⁡ 4 t - ∫ t 4 1 + 16 t 2 d t      

Pronto, agora temos uma integral mais simples de resolver, vamos lá.

Passo 2

Agora vamos resolver a integral:

∫ 4 t 1 + 16 t 2 d t      

Vamos usar uma substituição:

u = 1 + 16 t 2

d u = 32 t   d t

d t = 1 32 t d u

Podemos fazer a seguinte manipulação antes de substituir:

1 8 ∫ 8 × 4 t 1 + 16 t 2     d t = 1 8 ∫ 32 t 1 + 16 t 2     d t

Substituindo:

1 8 ∫ 32 t u   1 32 t d u = 1 8 ∫ 1 u d u

Sacaram o porque da malandragem ali em cima? Resolvendo a integral:

1 8 ∫ 1 u d u = 1 8 ln ⁡ x + C

Pronto, agora temos uma integral simples de resolver, vamos lá.

Passo 3

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável t , é só substituir de volta o que você usou no começo:

∫ 32 t 1 + 16 t 2 d t = ∫ 1 u   d u = ln ⁡ u + C = 1 8 ln ⁡ 1 + 16 t 2 + C

Vamos agora voltar a expressão original e problema resolvido:

∫ arctg ⁡ 4 t d t = t arctg ⁡ 4 t - 1 8 ∫ 32 t 1 + 16 t 2 d t = t arctg ⁡ 4 t - 1 8 ln ⁡ 1 + 16 t 2 + C

Resposta

∫ arctg ⁡ 4 t d t = t arctg ⁡ 4 t - 1 8 ln ⁡ 1 + 16 t 2 + C

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