Use a Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo para encontrar a derivada da função.

F x = ∫ x π 1 + sec ⁡ t d t

[Sugestão:   ∫ x π 1 + sec ⁡ t d t = - ∫ π x 1 + sec ⁡ t d t ]

Passo 1

Bom galera, nessa questão temos a seguinte função:

F x = ∫ x π 1 + sec ⁡ t d t

E temos que encontrar a derivada dessa função:

F ' ( x )

A parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo nos diz que se temos uma função g ( x ) dada como:

g x = ∫ a x f t d t             a ≤ x ≤ b

Sendo g ( x ) contínua em [ a , b ] e derivável em ( a , b ) , teremos então:

g ' x = f x

Na nossa questão temos uma função F ( x ) que é:

F x = ∫ x π 1 + sec ⁡ t d t

Se repararmos bem, o limite inferior que é x e o teorema fundamental do cálculo pede que o limite superior seja x .

Dessa forma, vamos usar a sugestão dada no enunciado:

∫ x π 1 + sec ⁡ t d t = - ∫ π x 1 + sec ⁡ t d t

Passo 2

Nossa função é:

F x = ∫ x π 1 + sec ⁡ t d t

O teorema diz que se uma função g ( x ) é dada como:

g x = ∫ a x f t d t

Então,

g ' x = f x

Primeiro temos que trocar o sinal da integral para poder inverter os limites de integração, para poder deixar ela da forma que o teorema pede:

F x = ∫ x π 1 + sec ⁡ t d t = - ∫ π x 1 + sec ⁡ t d t

Passo 3

Agora, temos que nossa função é:

F x = - ∫ π x 1 + sec ⁡ t d t

E o teorema diz que:

g x = ∫ a x f t d t

Então,

g ' x = f ( x )

Assim temos que a = π e assim:

F ' x = - d d x ∫ π x 1 + sec ⁡ t d t = - f x = - 1 + sec ⁡ x

Resposta

F ' x = - 1 + sec ⁡ x

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