Enunciado

Calcule a integral definida:

∫ - 4 4 x - 2 d x

Passo 1

Essas questões com módulo são um pouquinho mais chatinhas. O que a gente tem que fazer aqui é ver como se comporta o módulo. Funciona assim: quando o que tá dentro dele é positivo, o sinal se mantém. Quando o que tá dentro é negativo, o sinal troca. Beleza, então pra quais valores que o que tá ali dentro é positivo? É moleza de verificar!

x - 2 > 0

x > 2

Então é isso, vamos dividir em intervalos pra valores maiores e menores que 2 . O ponto x = 2 não importa, porque o módulo vai ficar zero, então não vai mudar nada na integral. Então a função vai ser assim:

x ≥ 2 : x - 2 = x - 2 x < 2 : x - 2 = 2 - x

Passo 2

A nossa integral, que vou chamar de I , vai ficar dividida assim:

I = ∫ - 4 2 2 - x d x + ∫ 2 4 x - 2 d x

Integral de polinômio é bem direta:

I = 2 x - x 2 2 - 4   2 + x 2 2 - 2 x 2 4

Substituindo os limites de integração:

I = 2 2 - 2 2 2 - 2 - 4 + - 4 2 2 + 4 2 2 - 2 4 - 2 2 2 + 2 2

Fazendo as continhas, vamos obter:

I = 20

Resposta

20

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