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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.Revisão - Ex. 21

Calcule a integral indefinida:

∫ 5 cos 2 ⁡ x - 3 tan ⁡ x cos ⁡ x   d x

Passo 1

Oi, pessoal! Tudo bom? Vamos começar simplificando essa equação!

∫ 5 cos 2 ⁡ x - 3 tan ⁡ x cos ⁡ x   d x = ∫ 5 cos ⁡ x d x - ∫ 3 tan ⁡ x cos ⁡ x d x

A primeira integral dá para fazer direto,

∫ 5 cos ⁡ x d x = 5 sin ⁡ x + C 1

Agora vamos resolver a segunda parte!

Passo 2

Vamos começar reescrevendo a integral,

∫ 3 tan ⁡ x cos ⁡ x d x = 3 ∫ sec ⁡ x tan ⁡ x d x

Para resolver essa integral, vamos lembrar a derivada de secante,

sec ⁡ x ' = sec ⁡ x tan ⁡ x

Logo,

3 ∫ sec ⁡ x tan ⁡ x d x = 3 sec ⁡ x + C 2

Agora vamos juntar tudo!

Passo 3

Com isso temos que,

∫ 5 cos 2 ⁡ x - 3 tan ⁡ x cos ⁡ x   d x = 5 sin ⁡ x - 3 sec ⁡ x + C

Resposta

5 sin ⁡ x - 3 sec ⁡ x + C

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