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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.Revisão - Ex. 20

Calcule a integral definida:

∫ 4 5 x 2 x - 4 d x

Passo 1

Pra manter o padrão, vamos tentar uma substituição trigonométrica. Não tem magia, é só tentar mesmo! No geral, é melhor trocar o termo mais complicado, então vamos fazer:

u = x - 4 = x - 4 1 2

Derivando:

d u = 1 2 x - 4 1 2 - 1 d x

d u = d x 2 x - 4

Rearrumando:

d x = d u 2 x - 4

d x = 2 u d u

Mas se x - 4 vale u , quanto vale x 2 ?

x - 4 = u

x - 4 = u 2

x 2 = u 2 + 4 2

Só falta uma coisa. Se trocamos a variável, temos que trocar os limites de integração!

x = 4 → u = 4 - 4 = 0

x = 5 → u = 5 - 4 = 1

Passo 2

Beleza, agora vamos substituir na integral, que vou chamar de I .

I = ∫ 0 1 x 2 x - 4 d x

I = ∫ 0 1 u 2 + 4 2 u 2 u d u

Arrumando a casa:

I = ∫ 0 1 2 u 2 u 2 + 4 2 d u

Abrindo o quadrado perfeito e botando o 2 em evidência:

I = 2 ∫ 0 1 u 2 u 4 + 8 u 2 + 16 d u

Botando o u 2 pra dentro:

I = 2 ∫ 0 1 u 6 + 8 u 4 + 16 u 2 d u

Podemos separar essa parada em três parcelas:

I = 2 ∫ 0 1 u 6 d u + ∫ 0 1 8 u 4 d u + ∫ 0 1 16 u 2 d u

Essas integrais são moleza!

I = 2 u 7 7 + 8 u 5 5 + 16 u 3 3 0 1

Passo 3

Beleza, agora vamos substituir os limites de integração!

I = 2 1 7 7 + 8 5 × 1 7 + 16 3 × 1 3 - 0 7 7 - 8 5 × 0 7 - 16 3 × 0 3

Essa conta aí tá enorme, mas ou vai cortar ou vai ficar multiplicado por 1 . No final, vai ficar assim:

I = 2 1 7 + 8 5 + 16 3

Calculando essa bagaça, vamos obter:

I = 1486 105

Resposta

1486 105

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