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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.Revisão - Ex. 20

Calcule a integral definida:

int_4^5 x^2 sqrt(x - 4) d x

Passo 1

Pra manter o padrão, vamos tentar uma substituição trigonométrica. Não tem magia, é só tentar mesmo! No geral, é melhor trocar o termo mais complicado, então vamos fazer:

u = sqrt(x - 4) = (x - 4)^((1)/(2))

Derivando:

d u = (1)/(2) (x - 4)^((1)/(2) - 1) d x

d u = (d x)/(2 sqrt(x - 4))

Rearrumando:

d x = d u (2 sqrt(x - 4))

d x = 2 u d u

Mas se sqrt(x - 4) vale u , quanto vale x^2 ?

sqrt(x - 4) = u

x - 4 = u^2

x^2 = (u^2 + 4)^2

Só falta uma coisa. Se trocamos a variável, temos que trocar os limites de integração!

x = 4 -> u = sqrt(4 - 4) = 0

x = 5 -> u = sqrt(5 - 4) = 1

Passo 2

Beleza, agora vamos substituir na integral, que vou chamar de I .

I = int_0^1 x^2 sqrt(x - 4) d x

I = int_0^1 (u^2 + 4)^2 u (2 u d u)

Arrumando a casa:

I = int_0^1 2 u^2 (u^2 + 4)^2 d u

Abrindo o quadrado perfeito e botando o 2 em evidência:

I = 2 int_0^1 u^2 (u^4 + 8 u^2 + 16) d u

Botando o u^2 pra dentro:

I = 2 int_0^1 (u^6 + 8 u^4 + 16 u^2) d u

Podemos separar essa parada em três parcelas:

I = 2 (int_0^1 u^6 d u + int_0^1 8 u^4 d u + int_0^1 16 u^2 d u)

Essas integrais são moleza!

I = 2 ((u^7)/(7) + (8 u^5)/(5) + (16 u^3)/(3))_0^1

Passo 3

Beleza, agora vamos substituir os limites de integração!

I = 2 ((1^7)/(7) + (8)/(5) xx 1^7 + (16)/(3) xx 1^3 - (0^7)/(7) - (8)/(5) xx 0^7 - (16)/(3) xx 0^3)

Essa conta aí tá enorme, mas ou vai cortar ou vai ficar multiplicado por 1 . No final, vai ficar assim:

I = 2 ((1)/(7) + (8)/(5) + (16)/(3))

Calculando essa bagaça, vamos obter:

I = (1486)/(105)

Resposta

(1486)/(105)

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