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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.Exercícios Práticos - Ex. 92

Calcule a integral definida abaixo:

int_(- (pi)/(2))^((pi)/(2)) 15 s e n^4 (3 x) c o s ( 3 x ) d x

Passo 1

Nessa questão devemos aplicar a técnica de integração por substituição . Esse método consiste em fazer uma troca de uma parte de uma função f(x) por uma variável simples (u) e que resulte em um du=f’(x) conveniente que irá possibilitar a integração, geralmente esse resultado é parte de outra função contida no integrando. Após integrar, você deve substituir a variável simples pela função que você a usou para substituir.

int_(- (pi)/(2))^((pi)/(2)) 15 s e n^4 (3 x) c o s ( 3 x ) d x

u = s e n ( 3 x ) d u = cos (3 x) xx 3 d x => (d u)/(3) = cos (3 x) d x

Passo 2

Aplicando a substituição e retirando a constante do integrando temos:

int_(- (pi)/(2))^((pi)/(2)) 15 s e n^4 (3 x) c o s ( 3 x ) d x = int_(- (pi)/(2))^((pi)/(2)) (15)/(3) u^4 d u = 5 int_(- (pi)/(2))^((pi)/(2)) u^4 d u

Passo 3

Para efetuar esta integração utilizaremos a integração polinomial que é dada por:

int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + C

Assim:

5 int_(- (pi)/(2))^((pi)/(2)) u^4 d u = 5 ((u^5)/(5)) ((pi)/(2))/(- (pi)/(2))

Passo 4

Substituindo u pela função que atribuímos e simplificando, temos:

5 ((u^5)/(5)) ((pi)/(2))/(- (pi)/(2)) = s e n^5 ((3 pi)/(2)) - s e n^5 (- (3 pi)/(2)) = - 1 - (1) = - 2

Relembrando que de forma genérica a substituição dos limites de integração ele é feito da seguinte maneira:

int_a^b f (x) d x = F (b) - F ( a )

Ou seja, após integrar de forma genérica você irá substituir os limites de integração ( a e b) nesse resultado obtido, respeitando a ordem de o limite superior aplicado na função menos o limite inferior aplicado na função.

Resposta

- 2

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