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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.Revisão - Ex. 19

Calcule a integral definida:

int tan^2 3 theta d theta

Passo 1

Bom, já deu pra ver que essa integral não é nada que dê pra resolver direto, né? Mas se liga! A gente pode fazer uma substituição de variável pra tentar melhorar a situação. Vamos fazer assim:

u = 3 theta

Derivando essa equação, obtemos:

d u = 3 d theta -> (d u)/(3) = d theta

Então nossa integral fica assim,

int (tan^2 u)/(3) d u

Podemos rescrever assim

(1)/(3) int tan^2 u d u

Então vamos resolver essa integral!

Passo 2

Para resolver essa integral vamos relembrar uma identidade trigonométrica:

tan^2 u = sec^2 u - 1

Substituindo, nossa integral fica assim,

(1)/(3) int ( sec^2 u - 1 ) d u

Podemos escrever assim

(1)/(3) [int sec^2 u d u - int d u]

Vamos resolver cada integral em separado!

Passo 3

Para resolver,

int sec^2 u d u

Vamos lembrar a derivada de tangente,

(tan u)^' = sec^2 u

Logo,

int sec^2 u d u = tan u + C_1

Já a próxima integral, temos

int d u = u + C_2

Agora vamos voltar para teta!

Passo 4

Então ficamos com,

(1)/(3) int tan^2 u d u = (1)/(3) [tan u - u] + C

Como u = 3 theta , temos

int tan^2 3 theta d theta = (1)/(3) [tan 3 theta - 3 theta] + C

Resposta

(1)/(3) [tan 3 theta - 3 theta] + C

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