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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.Revisão - Ex. 19

Calcule a integral definida:

∫ tan 2 ⁡ 3 θ d θ

Passo 1

Bom, já deu pra ver que essa integral não é nada que dê pra resolver direto, né? Mas se liga! A gente pode fazer uma substituição de variável pra tentar melhorar a situação. Vamos fazer assim:

u = 3 θ

Derivando essa equação, obtemos:

d u = 3 d θ → d u 3 = d θ

Então nossa integral fica assim,

∫ tan 2 ⁡ u 3 d u

Podemos rescrever assim

1 3 ∫ tan 2 ⁡ u d u

Então vamos resolver essa integral!

Passo 2

Para resolver essa integral vamos relembrar uma identidade trigonométrica:

tan 2 ⁡ u = sec 2 ⁡ u - 1

Substituindo, nossa integral fica assim,

1 3 ∫ ( sec 2 ⁡ u - 1 ) d u

Podemos escrever assim

1 3 ∫ sec 2 ⁡ u d u - ∫ d u

Vamos resolver cada integral em separado!

Passo 3

Para resolver,

∫ sec 2 ⁡ u d u

Vamos lembrar a derivada de tangente,

tan ⁡ u ' = sec 2 ⁡ u

Logo,

∫ sec 2 ⁡ u d u = tan ⁡ u + C 1

Já a próxima integral, temos

∫ d u = u + C 2

Agora vamos voltar para teta!

Passo 4

Então ficamos com,

1 3 ∫ tan 2 ⁡ u d u = 1 3 tan ⁡ u - u + C

Como u = 3 θ , temos

∫ tan 2 ⁡ 3 θ d θ = 1 3 tan ⁡ 3 θ - 3 θ + C

Resposta

1 3 tan ⁡ 3 θ - 3 θ + C

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