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Enunciado

Cálculo Numérico - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.10 - Ex. 16

No exercício abaixo, ache um intervalo em que se situa o erro de truncamento na aproximação do exercício 6, em que a integral é dada por:

∫ 2 10   d x 1 + x   ; n=8

Passo 1

Bom a primeira coisa que temos que saber é qual a fórmula usada para responder essas questões de erro de truncamento usando regra do trapézio.

a formula usada para o erro de truncamento pela regra do trapézio é:

∈   =   - 1 12 b - a f ´ ´ η * ∆ x 2

Calma, calma... eu sei a fórmula parece feia, mas ela é bem simples até, vamos analisar com calma:

b = l i m i t e   s u p e r i o r   d a   i n t e g r a l

a = l i m i t e   i n f e r i o r   d a   i n t e g r a l

f ´ ´ η = s e g u n d a   d e r i v a d a   a p l i c a d a   n o   p o n t o   η

∆ x = b - a n

Em que n é o número de divisões dada na questão...

Ufaaaa... agora vamos aplicar tudo isso

Passo 2

Vamos encontrar o valor de ∆ x :

∆ x = b - a n = 10 - 2 8 = 1

Passo 3

Agora vamos encontrar as derivadas da função dada:

f x = 1 x + 1 = x + 1 - 1

f ´ x =   - 1 * x + 1 - 2

f ´ ´ x = - 2 * - 1 * x + 1 - 3 = 2 * x + 1 - 3

Lembrando que esses valores foram encontrados usando a regra da cadeia de derivada, se não tá lembrado muito bem dá uma olhada no curso de cálculo rapidão porque é muito importante.

Passo 4

O nosso intervalo é a ,   b = [ 2 ,   10 ] (limite inferior e superior da nossa integral respectivamente). Então vamos a aplicar nossa derivada de segunda nesses pontos.

f ´ ´ 2 = 2 * x + 1 - 3 = 2 * 2 + 1 - 3 = 2 27

f ´ ´ 10 = 2 * x + 1 - 3 = 2 * 10 + 1 - 3 = 2 1331

Passo 5

Agora vamos jogar na nossa fórmula e pronto estará tudo acabado:

∈ 1   =   - 1 12 b - a f ´ ´ 2 * 1 2

∈ 1   =   - 1 12 10 - 2 * 2 27 * 1 2

∈ 1   ≅ - 0,05

∈ 2   =   - 1 12 b - a f ´ ´ 10 * 1 2

∈ 2   =   - 1 12 10 - 2 * 2 1331 * 1 2

∈ 2   ≅ - 0,001

Logo nosso intervalo será entre esses valores, ou seja:

- 0,05 ≤     ∈     ≤ - 0,001

Chegamos ao fim.

Resposta

- 0,05 ≤     ∈     ≤ - 0,001

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