Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.Revisão - Ex. 72
A equação de demanda por uma barra de chocolate é:
Onde 1000x barras são demandadas por semana quando p centavos é o preço por unidade. Se o preço atual de cada barra for 49 centavos e estiver aumentando à taxa de 0,2 centavos por semana, ache a taxa de variação na demanda.
Passo 1
Bom, como é pedida a taxa de variação, precisaremos envolver a derivada x com relação ao preço por unidade, ou seja, . Como a taxa de variação de preço está por semana e a demanda também está por semana, precisaremos relacionar elas com a taxa de barras.
Passo 2
Primeiro faremos a taxa de variação por semana, chamaremos o número de semanas de t e faremos a derivada da demanda com relação a t:
Passo 3
Agora vamos isolar o x para escrevermos a taxa de variação das barras com relação ao preço:
Fazendo a derivada para encontrar a taxa:
Aplicando a Regra do Quociente:
Resolvendo as derivadas que apareceram, ficamos com:
Passo 4
Agora precisamos calcular a taxa do número de barras com relação ao número de semanas, então pela Regra da Cadeia:
Como o enunciado nos dá o preço atual de cada barra e a taxa de aumento por semana , poderemos substituir na equação acima:
Mas pelo Passo 1, nós sabemos a taxa por semana de barras:
Então a demanda está diminuindo em aproximadamente 242 barras por semana em relação ao preço atual.
Resposta
barras/semana