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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.7 - Ex. 31

Calcule a integral indefinida:

int (d x)/(sqrt(x) root(3)(x) (1 + root(3)(x))^2)

Passo 1

Pessoal, para resolver essa integral, vamos começar a manipular o integrando e juntar o que podemos.

int (d x)/(sqrt(x) root(3)(x) (1 + root(3)(x))^2) = int (d x)/(x^((1)/(2)) * x^((1)/(3)) (1 + x^((1)/(3)))^2) = int (d x)/(x^((3)/(6)) * x^((2)/(6)) (1 + x^((1)/(3)))^2) = int (d x)/(x^((5)/(6)) (1 + x^((1)/(3)))^2)

= int (d x)/((x^((1)/(6)))^5 (1 + x^((1)/(3)))^2)

Agora vamos fazer a substituição x^((1)/(6)) = u -> (1)/(6) x^((1)/(6) - 1) d x = d u -> 6 d u = (d x)/(x^((5)/(6))) .

int (d x)/((x^((1)/(6)))^5 (1 + x^((1)/(3)))^2) = int (6 d u)/((1 + x^((1)/(3)))^2)

Perceba que ainda existe um termo com x , mas se u = x^((1)/(6)) , então u^2 = x^((1)/(3)) . Dessa forma,

int (d x)/((x^((1)/(6)))^5 (1 + x^((1)/(3)))^2) = int (6 d u)/((1 + u^2)^2) = 6 int (d u)/((1 + u^2)^2)

Passo 2

Para resolver a integral acima, precisaremos efetuar uma substituição trigonométrica com a tangente. Façamos então u = tan theta -> d u = sec^2 theta d theta .

Vocês podem ver a seguir no quadro de substituições com os respectivos triângulos e intervalos.

Ficamos com:

6 int (d u)/((1 + u^2)^2) = 6 int (sec^2 theta d theta)/((1 + tan^2 theta)^2) = 6 int (sec^2 theta d theta)/((sec^2 theta)^2) = 6 int cos^2 theta d theta

Agora utilizamos a relação cos^2 theta = (1 + cos 2 theta)/(2) .

6 int cos^2 theta d theta = 6 int (1 + cos 2 theta)/(2) d theta = 3 int (1 + cos 2 theta) d theta = 3 theta + (3 sen 2 theta)/(2) + C

Pronto! Resolvemos a integral na variável theta , mas precisamos dar o resultado na variável x .

Passo 3

Para achar sen 2 theta = 2 sen theta cos theta nós olhamos o triângulo da substituição tangente construído no início e utilizamos relações trigonométricas. Temos então:

sen 2 theta = 2 sen theta cos theta = 2 (u)/(sqrt(u^2 + a^2)) * (a)/(sqrt(u^2 + a^2)) = (2 u)/(u^2 + 1)

Dessa forma,

int (d x)/(sqrt(x) root(3)(x) (1 + root(3)(x))^2) = 3 theta + (3 sen 2 theta)/(2) + C = 3 tan^(- 1) u + (3)/(2) * (2 u)/(u^2 + 1) + C

Agora lembramos que x^((1)/(6)) = u .

int (d x)/(sqrt(x) root(3)(x) (1 + root(3)(x))^2) = 3 tan^(- 1) (x^((1)/(6))) + (3 x^((1)/(6)))/(x^((2)/(6)) + 1) + C

int (d x)/(sqrt(x) root(3)(x) (1 + root(3)(x))^2) = 3 tan^(- 1) (root(6)(x)) + (3 root(6)(x))/(root(3)(x) + 1) + C

Resposta

int (d x)/(sqrt(x) root(3)(x) (1 + root(3)(x))^2) = 3 tan^(- 1) (root(6)(x)) + (3 root(6)(x))/(root(3)(x) + 1) + C

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