Calcule a integral indefinida:

∫ d x x x 3 1 + x 3 2

Passo 1

Pessoal, para resolver essa integral, vamos começar a manipular o integrando e juntar o que podemos.

∫ d x x x 3 1 + x 3 2 = ∫ d x x 1 2 ⋅ x 1 3 1 + x 1 3 2 = ∫ d x x 3 6 ⋅ x 2 6 1 + x 1 3 2 = ∫ d x x 5 6 1 + x 1 3 2

= ∫ d x x 1 6 5 1 + x 1 3 2

Agora vamos fazer a substituição x 1 6 = u         →         1 6 x 1 6 - 1 d x = d u       →         6 d u = d x x 5 6 .

∫ d x x 1 6 5 1 + x 1 3 2 = ∫ 6 d u 1 + x 1 3 2

Perceba que ainda existe um termo com x , mas se u = x 1 6 , então u 2 = x 1 3 . Dessa forma,

∫ d x x 1 6 5 1 + x 1 3 2 = ∫ 6 d u 1 + u 2 2 = 6 ∫ d u 1 + u 2 2

Passo 2

Para resolver a integral acima, precisaremos efetuar uma substituição trigonométrica com a tangente. Façamos então u = tan ⁡ θ     →         d u = sec 2 ⁡ θ d θ .

Vocês podem ver a seguir no quadro de substituições com os respectivos triângulos e intervalos.

Ficamos com:

6 ∫ d u 1 + u 2 2 = 6 ∫ sec 2 ⁡ θ d θ 1 + tan 2 ⁡ θ 2 = 6 ∫ sec 2 ⁡ θ d θ sec 2 ⁡ θ 2 = 6 ∫ cos 2 ⁡ θ d θ

Agora utilizamos a relação cos 2 ⁡ θ = 1 + cos ⁡ 2 θ 2 .

6 ∫ cos 2 ⁡ θ d θ = 6 ∫ 1 + cos ⁡ 2 θ 2 d θ = 3 ∫ 1 + cos ⁡ 2 θ d θ = 3 θ + 3 sen ⁡ 2 θ 2 + C

Pronto! Resolvemos a integral na variável θ , mas precisamos dar o resultado na variável x .

Passo 3

Para achar sen ⁡ 2 θ = 2 sen ⁡ θ cos ⁡ θ nós olhamos o triângulo da substituição tangente construído no início e utilizamos relações trigonométricas. Temos então:

sen ⁡ 2 θ = 2 sen ⁡ θ cos ⁡ θ = 2 u u 2 + a 2 ⋅ a u 2 + a 2 = 2 u u 2 + 1

Dessa forma,

∫ d x x x 3 1 + x 3 2 = 3 θ + 3 sen ⁡ 2 θ 2 + C = 3 tan - 1 ⁡ u + 3 2 ⋅ 2 u u 2 + 1 + C

Agora lembramos que x 1 6 = u .

∫ d x x x 3 1 + x 3 2 = 3 tan - 1 ⁡ x 1 6 + 3 x 1 6 x 2 6 + 1 + C

∫ d x x x 3 1 + x 3 2 = 3 tan - 1 ⁡ x 6 + 3 x 6 x 3 + 1 + C

Resposta

∫ d x x x 3 1 + x 3 2 = 3 tan - 1 ⁡ x 6 + 3 x 6 x 3 + 1 + C

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