Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.7 - Ex. 28

Calcule a integral indefinida:

int (d x)/(cotg 2 x ( 1 - cos 2 x ))

Passo 1

Pessoal, para resolver essa integral, vamos começar a manipular o integrando para tentar chegar em algo que nós conhecemos. Começamos com o seguinte:

int (d x)/(cotg 2 x ( 1 - cos 2 x )) = int (d x)/((cos 2 x)/(sen 2 x) ( 1 - cos 2 x )) = int (sen 2 x d x)/(cos 2 x ( 1 - cos 2 x ))

Perceba que agora cabe uma substituição simples.

Passo 2

Vamos fazer a substituição cos 2 x = u -> - 2 sen 2 x d x = d u -> sen 2 x d x = - (d u)/(2) .

int (sen 2 x d x)/(cos 2 x ( 1 - cos 2 x )) = int (- (d u)/(2))/(u ( 1 - u )) = (1)/(2) int (d u)/(u ( u - 1 ))

Agora ficou mais tranquilo.

Passo 3

Aqui nós podemos utilizar frações parciais para resolver, porém, como o exercício não é especificamente de frações parciais, vamos utilizar a fórmula:

(1)/((x - a) (x - b)) = (1)/((a - b) (x - a)) + (1)/((b - a) (x - b))

Dessa forma, para a = 0 e b = 1 , ficamos com:

(1)/(2) int (d u)/(u ( u - 1 )) = (1)/(2) int ((1)/((- 1) (u)) + (1)/((1) (u - 1))) d u = (1)/(2) int (- (1)/(u) + (1)/(u - 1)) d u

Basta lembrar que int (1)/(x - a) d x = ln |x - a| + C . Então,

(1)/(2) int (- (1)/(u) + (1)/(u - 1)) d u = (1)/(2) ( - ln |u| + ln | u - 1 | ) + C

Passo 4

Como a integral foi dada na variável x , devemos dar a resposta nesta variável. Lembrando que cos 2 x = u , ficamos com:

int (d x)/(cotg 2 x ( 1 - cos 2 x )) = (1)/(2) ( - ln |cos 2 x| + ln | cos 2 x - 1 | ) + C

Resposta

int (d x)/(cotg 2 x ( 1 - cos 2 x )) = (1)/(2) ( - ln |cos 2 x| + ln | cos 2 x - 1 | ) + C

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Seja y ( t ) o número de células de E .c o l i num recipiente de solução nutriente t minutos depois do início de um experimento. Suponha que y ( t ) seja modelada pelo problema de valor inicial. d y d
Suponha que uma população p de rãs em um lago está estimada no começo de 2010 em 100.000, e que o modelo de crescimento para a população p ( t ) supõe que a taxa de crescimento (em milhares) após t an
Calcule ∫ x x 2 + 1 d x . Use um recurso gráfico para gerar algumas curvas integrais típicas de f x = x x 2 + 1 sobre o intervalo - 5,5 .
Calcule ∫ x x 2 + 1 d x . Use um recurso gráfico para gerar algumas curvas integrais típicas de f x = x x 2 + 1 sobre o intervalo - 5,5 .
Em alguns casos, o segundo método para o cálculo de integrais definidas tem vantagens claras sobre o primeiro. Forneça alguns exemplos e escreva um parágrafo discutindo as vantagens do segundo método