Calcule e interprete geometricamente o resultado obtido

Letra d)

l i m n → + ∞ ∬ A n 1 x + 1 y d x d y

Onde A n é o retângulo

1 n ≤ x ≤ 1     e 1 n ≤ y ≤ 1

Com n ≥ 2

Passo 1

O problema sugere uma integral de superfície e a superfície A n é o seguinte retângulo

Passo 2

A integral no argumento do limite é do tipo

∬ R f ( x , y )     d x d y

Onde R é a região, no nosso caso o retângulo em azul escuro na imagem anterior.

Aplicando os limites de integração que foram dados no enunciado, e através dos quais foi possível esboçar o retângulo podemos compor nossa integral que chamaremos de I 1 .

I 1 = ∫ 1 n 1 ∫ 1 n 1 1 x + 1 y d x d y

É o que??! Vem tranquilo, rsr

Aqui temos duas integrais simples para resolver. Vamos partir de dentro para fora, ou seja, da integral com d x para a integral d y .

Passo 3

Vamos nomear a integral d x como I 2 então.

I 2 = ∫ 1 n 1 1 x + 1 y d x  

Nesta integral tudo o que não for x é constante. I 2 Ficará.

I 2 = ∫ 1 n 1 1 x d x + ∫ 1 n 1 1 y d x

Resolvendo a primeira a integral I 2 :

I 2 1 = 2 x   1 n 1 = 2 - 1 n =   2 n - 2 n n

E resolvendo a segunda integral de I 2

I 2 2 = x y 1 n 1 = 1 y - 1 / n y = n y - y y n

Juntando I 2 1 e I 2 2 a integral de d x é:

I 2 = 2 n - 2 n n + n y - y y n

Passo 4

Agora temos somente a integral de fora, ou seja, a integral I 1 com d y .

I 1 = ∫ 1 n 1 2 n - 2 n n + n y - y y n d y

Amigo/a olha que simplificada bonita. Aqui quem não for y é constante. E I 1 pode ser reescrita como:

I 1 = ∫ 1 n 1 2 n - 2 n n d y + ∫ 1 n 1 n y - y y n d y

A primeira integral de I 1 não tem y então essa galera é toda constante.

I 1 1 = ∫ 1 n 1 2 n - 2 n n d y = 2 n - 2 n n ⋅ y 1 n 1       →     2 n - 2 n n ⋅ n - 1 n  

E a integral 2 de I 1 , com os termos constantes em evidencia será:

I 1 2 = ∫ 1 n 1 n y - y y n d y = ∫ 1 n 1 y n - 1 y n d y = n - 1 n ⋅ ∫ 1 n 1 y y d y

Igual a:

I 1 2 = n - 1 n ⋅ 2 y 1 n 1           →       n - 1 n ⋅ 2 n - 2 n n  

Juntando I 1 1 e I 1 2 teremos nossa integral final igual a

I 1 = 2 ⋅ 2 n - 2 n n ⋅ n - 1 n = 2 n - 2 n n ⋅ 2 n - 2 n

Com a última multiplicação

I 1 = 4 n 2 - 4 n - 4 n n + 4 n n 2

Passo 5

Chagamos no ultimo passo que é aplicar o limite

l i m n → + ∞ I 1 =   l i m n → + ∞ 4 n 2 - 4 n - 4 n n + 4 n n 2

Dividindo em cima e embaixo pela potencia de maior expoente

l i m n → + ∞ I 1 =   l i m n → + ∞ 4 - 4 n - 4 n + 4 n 3 1

Aplicando o limite

l i m n → + ∞ I 1 = 4 - 0 - 0 - 0 1 = 4

Resposta

l i m n → + ∞ ∬ A n 1 x + 1 y d x d y = 4

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