(Método dos babilônios para cálculo de raiz quadrada) Considere a sequencia , , dada por
Onde e são reais positivos dados. (Observe que é a média aritmética entre e . Observe, ainda que se for uma aproximação por falta de , então será uma aproximação por excesso e vice-versa) Mostre que, para todo , tem-se
d)Conclua que
Existe e calcule-o
Passo 1
Se aplicarmos o limite de com tendendo ao infinito, no resultado encontrado na letra c, obteremos.
Passo 2
Dizemos que uma sequência de intervalos é encaixante se:
Como
Esta é uma sequencia encaixante.
Passo 3
Pelo principio dos intervalos encaixantes existe um único tal que, para todo ,
Daí
Resposta
Sendo assim
Dessa maneira, segue que:
Portanto,