(Método dos babilônios para cálculo de raiz quadrada) Considere a sequencia a n , n ≥ 0 , dada por

a n + 1 = 1 2 a n + α a n

Onde a 0 e α são reais positivos dados. (Observe que a n + 1 é a média aritmética entre a n e α a n . Observe, ainda que se a n for uma aproximação por falta de α , então α a n será uma aproximação por excesso e vice-versa) Mostre que, para todo n ≥ 1 , tem-se

d)Conclua que

lim n → ∞ ⁡ a n

Existe e calcule-o

Passo 1

Se aplicarmos o limite de com n tendendo ao infinito, no resultado encontrado na letra c, obteremos.

lim n → ∞ ⁡ 1 2 n a 1 - α a 1 = 0

Passo 2

Dizemos que uma sequência de intervalos a n é encaixante se:

a 1 ⊃ a 2 ⊃ a 3 ⊃ … ⊃ a n

Como

α a 1 ⊃ α a 2 ⊃ α a 3 ⊃ … ⊃ α a n

Esta é uma sequencia encaixante.

Passo 3

Pelo principio dos intervalos encaixantes existe um único a tal que, para todo n ,

α a n ≤ a ≤ a n

Daí

a n - a ≤ 1 2 n - 1 a 1 - α a 1

Resposta

Sendo assim

lim n → ∞ ⁡ a n = a

Dessa maneira, segue que:

a = 1 2 a + α a

Portanto,

a = α  

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