(Método dos babilônios para cálculo de raiz quadrada) Considere a sequencia , , dada por
Onde e são reais positivos dados. (Observe que é a média aritmética entre e . Observe, ainda que se for uma aproximação por falta de , então será uma aproximação por excesso e vice-versa) Mostre que, para todo , tem-se
b)
Passo 1
Se na desigualdade:
Colocarmos todos os termos do mesmo lado, teremos:
Mas, nós possuímos do enunciado, então basta substitui-lo.
Vamos multiplicar o de fora, simplesmente para podermos ver as operações realizadas.
Subtraindo os e colocando o meio novamente em evidência.
Resposta
Como foi definido como uma aproximação por falta de , então esta desigualdade nunca será positiva. Logo a relação de ser igual à zero ou negativa é satisfeita.
E isso atesta que:
Esta de acordo