(Método dos babilônios para cálculo de raiz quadrada) Considere a sequencia a n , n ≥ 0 , dada por

a n + 1 = 1 2 a n + α a n

Onde a 0 e α são reais positivos dados. (Observe que a n + 1 é a média aritmética entre a n e α a n . Observe, ainda que se a n for uma aproximação por falta de α , então α a n será uma aproximação por excesso e vice-versa) Mostre que, para todo n ≥ 1 , tem-se

b) a n + 1 ≤ a n

Passo 1

Se na desigualdade:

a n + 1 ≤ a n

Colocarmos todos os termos do mesmo lado, teremos:

a n + 1 - a n ≤ 0

Mas, a n + 1 nós possuímos do enunciado, então basta substitui-lo.

1 2 a n + α a n - a n ≤ 0

Vamos multiplicar o 1 2 de fora, simplesmente para podermos ver as operações realizadas.

a n 2 + α 2 a n - a n ≤ 0

Subtraindo os a n e colocando o meio novamente em evidência.

1 2 - a n + α a n ≤ 0

Resposta

Como a n foi definido como uma aproximação por falta de α , então esta desigualdade nunca será positiva. Logo a relação de ser igual à zero ou negativa é satisfeita.

E isso atesta que:

a n + 1 ≤ a n

Esta de acordo

Ver Outros Exercícios desse livro