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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 6.1 - Ex. 7

Calcule ∫ γ E → ⋅ d l → onde E → é o campo dado no Exercício 5 e γ a curva dada por x = 2 cos ⁡ t ,   y = sen ⁡ t com 0 ≤ t ≤ π 2 .

Passo 1

Oi pessoal, vamos resolver esta questão.

Queremos:

∫ γ E → ⋅ d l →

Sabendo que:

E → x , y = 1 x 2 + y 2 x i → + y j → x 2 + y 2

E:

γ t = ( 2 cos ⁡ t , sen ⁡ t )

Sabemos que esta integral de linha é calculada por:

∫ γ E → ⋅ d l → = ∫ a b E → γ t ⋅ γ ' t d t = 0

Queremos então, os termos E → γ t e γ ' t . Temos que:

γ t = ( 2 cos ⁡ t , sen ⁡ t )

Onde x = 2 cos ⁡ t e y = sen ⁡ t .

Passo 2

Portanto:

E → x , y = 1 x 2 + y 2 x i → + y j → x 2 + y 2

E → x , y = 1 2 cos ⁡ t 2 + sen ⁡ t 2 2 cos ⁡ t i → + sen ⁡ t j → 2 cos ⁡ t 2 + sen ⁡ t 2

Ou:

E → x , y = 2 cos ⁡ t 4 cos 2 ⁡ t + sen 2 ⁡ t 3 2 , sen ⁡ t 4 cos 2 ⁡ t + sen 2 ⁡ t 3 2

A derivada de γ t vale:

γ ' t = - 2 sen ⁡ t , cos ⁡ t

Portanto:

E → γ t ⋅ γ ' t = 2 cos ⁡ t 4 cos 2 ⁡ t + sen 2 ⁡ t 3 2 , sen ⁡ t 4 cos 2 ⁡ t + sen 2 ⁡ t 3 2 ⋅ - 2 sen ⁡ t , cos ⁡ t

Resolvendo este produto, temos que:

E → γ t ⋅ γ ' t = - 3 cos ⁡ t sen ⁡ t 4 cos 2 ⁡ t + sen 2 ⁡ t 3 2

Passo 3

Aplicando à integral, nos limites fornecidos, temos que:

∫ γ E → ⋅ d l → = ∫ 0 π 2 - 3 cos ⁡ t sen ⁡ t 4 cos 2 ⁡ t + sen 2 ⁡ t 3 2 d t = ∫ d u 2 u 3 = - 1 u

Logo:

∫ γ E → ⋅ d l → = - 1 3 cos 2 ⁡ t + 1 0 π 2

Resolvendo, temos que:

∫ γ E → ⋅ d l → = - 1 2

Resposta

∫ γ E → ⋅ d l → = - 1 2

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