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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 6.1 - Ex. 5

Calcule ∫ γ E → ⋅ d l → onde E → x , y = 1 x 2 + y 2 x i → + y j → x 2 + y 2 e γ t = ( t , 1 ) , - 1 ≤ t ≤ 1 . (O l → desempenha aqui o mesmo papel que o r → : l → t = γ ( t ) ).

Passo 1

Oi pessoal, vamos resolver esta questão.

Queremos:

∫ γ E → ⋅ d l →

Sabendo que:

E → x , y = 1 x 2 + y 2 x i → + y j → x 2 + y 2

E:

γ t = ( t , 1 )

Sabemos que esta integral de linha é calculada por:

∫ γ E → ⋅ d l → = ∫ a b E → γ t ⋅ γ ' t d t = 0

Queremos então, os termos E → γ t e γ ' t . Temos que:

γ t = ( t , 1 )

Onde x = t e y = 1 .

Passo 2

Portanto:

E → x , y = 1 x 2 + y 2 x i → + y j → x 2 + y 2

E → x , y = 1 t 2 + 1 2 t i → + 1 j → t 2 + 1 2

Ou:

E → x , y = t t 2 + 1 3 2 , 1 t 2 + 1 3 2

A derivada de γ t vale:

γ ' t = 1,0

Portanto:

E → γ t ⋅ γ ' t = t t 2 + 1 3 2 , 1 t 2 + 1 3 2 ⋅ 1,0

Resolvendo este produto, temos que:

E → γ t ⋅ γ ' t = t t 2 + 1 3 2

Passo 3

Aplicando à integral, nos limites fornecidos, temos que:

∫ γ E → ⋅ d l → = ∫ - 1 1 t t 2 + 1 3 2 d t

∫ γ E → ⋅ d l → = 1 2 - 2 t 2 + 1 - 1 1

Resolvendo, temos que:

∫ γ E → ⋅ d l → = 0

Resposta

∫ γ E → ⋅ d l → = 0

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