Calcule a soma da série dada.

sum_(k = 1)^n (1)/(k (k + 1) (k + 2) ... ( k + p )) , o n d e p >= 1 é u m n ú m e r o n a t u r a l d a d o .

Passo 1

Bom galerinha, se nós analisarmos a série do enunciado podemos perceber que ela é telescópica, certo?

Nestes casos nós podemos fazer a série como função de:

sum_(k = 0)^n b_k - b_k + 1

Se:

b_k = (1)/(k (k + 1) (k + 2) ... ( k + p ))

Então:

sum_(k = 1)^n (1)/(k (k + 1) (k + 2) ... ( k + p )) = (1)/(p) ((1)/(2.3 . ... . p))

Reorganizando:

sum_(k = 1)^n (1)/(k (k + 1) (k + 2) ... ( k + p )) = (1)/(p ! p)

Portanto a série vai convergir para (1)/(p ! . p) .

Tranquilinha, né?

Resposta

sum_(k = 1)^n (1)/(k (k + 1) (k + 2) ... ( k + p )) = (1)/(p ! p)

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