Mostre que, para todo n >= 2

ln n - sum_(k = 2)^n (1)/(k) <= (1)/(2) sum_(k = 2)^n (1)/(k ( k - 1 ))

Conclua que:

underset(n -> oo)(lim) [ln n - sum_(k = 2)^n (1)/(k)] <= (1)/(2)

Passo 1

Vamos seguindo galerinha??

Nós podemos escrever esta equação como:

ln ( n + 1 ) - ln n - (1)/(n + 1) < (1)/(2) [(1)/(n) - (1)/(n + 1)]

Se transformarmos esta equação em função do somatório:

ln ( n + 1 ) - sum_(k = 1)^n (1)/(k + 1) < (1)/(2) [sum_(k = 1)^n (1)/(k) - sum_(k = 1)^n (1)/(k + 1)]

Se reescrevermos:

ln ( n ) - sum_(k = 2)^(n + 1) (1)/(k) < (1)/(2) [sum_(k = 2)^(n + 1) (1)/(k - 1) - sum_(k = 2)^(n + 1) (1)/(k)]

ln ( n ) - sum_(k = 2)^(n + 1) (1)/(k) < (1)/(2) [sum_(k = 2)^(n + 1) (1)/(k ( k - 1 ))]

Como nós temos aqui uma série telescópica podemos fazer o seguinte rearranjo:

sum_(k = 2)^(n + 1) (1)/(k ( k - 1 )) = [sum_(k = 2)^(n + 1) (1)/(k - 1) - sum_(k = 2)^(n + 1) (1)/(k)] = 1

Então:

ln ( n ) - sum_(k = 2)^(n + 1) (1)/(k) < (1)/(2)

Exatamente o que queríamos demonstrar, certo?

Então é isso galerinha !!

Resposta

C o m o v i s t o a c i m a ‼

Ver Outros Exercícios desse livro