Calcule a soma da série dada.

sum_(k = 1)^n (1)/(k ( k + 1 ) ( k + 2 ) ( k + 3 ))

Passo 1

Bom galerinha, se nós analisarmos a série do enunciado podemos perceber que ela é telescópica, certo?

Nestes casos nós podemos fazer a série como função de:

sum_(k = 0)^n b_k - b_k + 1

Se:

b_k = (1)/(k ( k + 1 ) ( k + 2 ))

b_k + 1 = (1)/(( k + 1 ) ( k + 2 ) ( k + 3 ))

Reorganizando:

sum_(k = 1)^n (1)/(k ( k + 1 ) ( k + 2 ) ( k + 3 )) = (1)/(3) sum_(k = 1)^n [(1)/(k ( k + 1 ) ( k + 2 )) - (1)/(( k + 1 ) ( k + 2 ) ( k + 3 ))]

Uma pequena mudança, mas continua tudo igual, não é?

Resolvendo:

(1)/(3) sum_(k = 1)^n [(1)/(k ( k + 1 ) ( k + 2 )) - (1)/(( k + 1 ) ( k + 2 ) ( k + 3 ))] = (1)/(3) ((1)/(6) + (1)/((k + 3)))

Quando aplicamos o limite:

underset(k -> oo)(lim) (1)/(3) ((1)/(6) + (1)/((k + 3))) = (1)/(18)

Portanto a série vai convergir para (1)/(18) .

Tranquilinha, né?

Resposta

sum_(k = 1)^n (1)/(k ( k + 1 ) ( k + 2 ) ( k + 3 )) = (1)/(18)

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