Calcule

Letra c)

underset(n -> oo)(lim) n [s e n ((1 + n^3)/(n^2)) - s e n n]

Passo 1

O problema pode ser reescrito colocando o reciproco de n dividindo a segunda parcela

underset(n -> oo)(l i m) (s e n ((1)/(n^2) + n) - s e n n)/((1)/(n))

O numerador

s e n ((1)/(n^2) + n) - s e n n

É uma subtração de arcos do tipo

s e n alpha - s e n beta = 2 s e n ((alpha - beta)/(2)) cos ((alpha + beta)/(2))

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alpha = (1)/(n^2) + n e beta = n

Sendo assim

s e n ((1)/(n^2) + n) - s e n n = 2 s e n ((1)/(2 n^2)) cos ((1)/(2 n^2) + n)

Passo 2

Voltando para o limite já substituído

underset(n -> oo)(l i m) (2 s e n ((1)/(2 n^2)) cos ((1)/(2 n^2) + n))/((1)/(n))

Se multiplicarmos tanto o numerador quanto o denominador por 1 // 2 n^2 obteremos

underset(n -> oo)(l i m) (s e n ((1)/(2 n^2)) cos ((1)/(2 n^2) + n) * (1)/(n))/((1)/(2 n^2)) -> underset(n -> oo)(l i m) (s e n ((1)/(2 n^2)))/((1)/(2 n^2)) * (1)/(n) * cos ((1)/(2 n^2) + n)

O limite

underset(n -> oo)(l i m) (s e n ((1)/(2 n^2)))/((1)/(2 n^2)) = 1

O limite

underset(n -> oo)(l i m) (1)/(n) = 0

E o limite

underset(n -> oo)(l i m) cos ((1)/(2 n^2) + n) é l i m i t a d o

Portanto

underset(n -> oo)(l i m) (s e n ((1)/(2 n^2)))/((1)/(2 n^2)) * (1)/(n) * cos ((1)/(2 n^2) + n) = 0

Resposta

underset(n -> oo)(lim) n [s e n ((1 + n^3)/(n^2)) - s e n n] = 0

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