É convergente ou divergente? Justifique.

Letra a)

s_n = sum_(k = 1)^n (1)/(k^3)

Passo 1

Considerando os naturais m e n com 1 <= m <= n

Então o somatório fica

s_n = sum_(k = 1)^m (1)/(k^3) + sum_(k = m + 1)^n (1)/(k^3)

Passo 2

Uma vez que

sum_(k = m + 1)^n (1)/(k^3) > 0

Resulta que quaisquer que sejam os números 𝑚 e n de modo que m < n significa que s_m < s_n

Dessa forma a sequencia s_n é crescente.

Passo 3

Temos

s_n = 1 + (1)/(2^3) + (1)/(3^3) + ... + (1)/(n^3) <= 1 + int_1^n (1)/(x^3) d x

Aplicando o limite quando n -> oo

underset(n -> oo)(lim) int_1^n (1)/(x^3) d x = underset(n -> oo)(l i m) [(1)/(2) - (1)/(2 n^2)] = (1)/(2)

Isso significa que, s_n <= 1 + (1)/(2) para todo n >= 1

Resposta

Sendo assim a sequencia é CONVERGENTE, pois é crescente e limitada superiormente por 3 // 2

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