Um capital está crescendo a uma taxa proporcional a . Sabe-se que o valor do capital aplicado no instante era de R$ 20.000,00 e, 1 ano após, R$ 60.000,00. Determine o valor do capital no instante . Suponha em anos.
Passo 1
Meus grandes gênios, vamos resolver esse problema de alta complexidade (brincadeira)?
Sabemos que a equação diferencial que rege o problema é dada por
Em outras palavras, isso nos garante que:
Vamos separar as variáveis e depois integrar ambos os lados da equação:
Elevando ambos os lados da equação a , que é a base do logaritmo:
Passo 2
Essa questão trata-se de um PVI (problema de valor inicial), logo, precisamos aplicar os valores que a questão nos fornece para transformar a equação encontrada em outra mais “palpável”.
A questão nos garante:
Vamos:
Então, temos:
E, por consequência:
Por fim, temos: