Um capital C = C ( t ) está crescendo a uma taxa d C d t proporcional a C . Sabe-se que o valor do capital aplicado no instante t = 0 era de R$ 20.000,00 e, 1 ano após, R$ 60.000,00. Determine o valor do capital no instante t . Suponha t em anos.

Passo 1

Meus grandes gênios, vamos resolver esse problema de alta complexidade (brincadeira)?

Sabemos que a equação diferencial que rege o problema é dada por

d C d t ∝ C ; ∝ é   r e f e r e n t e   a   p r o p o r c i o n a l i d a d e

Em outras palavras, isso nos garante que:

d C d t = u C

Vamos separar as variáveis e depois integrar ambos os lados da equação:

d C C = u . d t

∫ d C C = ∫ u   d t

ln ⁡ C = u t + k

Elevando ambos os lados da equação a e , que é a base do logaritmo:

C = e u t + k

C t = e k e u t

Passo 2

Essa questão trata-se de um PVI (problema de valor inicial), logo, precisamos aplicar os valores que a questão nos fornece para transformar a equação encontrada em outra mais “palpável”.

A questão nos garante:

C 0 = R $   20.000,00 C 1 = R $   60.000,00

Vamos:

C 0 = 20.000 ⇒ e k = 20.000

Então, temos:

C t = 20.000 e u t

E, por consequência:

C 1 = 60.000 ⇒ 20.000 e u = 60.000

e u = 3

Por fim, temos:

C t = 20.000 ∙ 3 t

Resposta

C t = 20.000 ∙ 3 t

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