Resolva

(d x)/(d t) = x + s e n (t) , t > 0

Passo 1

Meus queridos e minhas queridas:

Notem que não há como isolar as variáveis em ambos os lados da equação.

Para resolvermos, precisamos fazer uso do seguinte artifício:

As soluções da equação:

(d y)/(d x) = f (x) y + g ( x )

São dadas pela fórmula:

y = e^(int f (x) d x) * [k + int g (x) e^(- int f (x) d x) d x]

Portanto, mãos a massa!

Sendo a equação:

(d x)/(d t) = x + s e n ( t )

Vamos alterar as variáveis com o único intuito de que vocês não confundam a fórmula com a questão proposta!

(d y)/(d x) = 1 y + s e n ( x )

Sabemos que:

{[[f (x) = 1],[g (x) = s e n ( x )]])

Vamos lá!

y = e^(int d x) * [k + int s e n (x) e^(- int d x) d x]

y = e^x * [k + int s e n ( x ) e^(- x) d x]

y = k e^x + e^x {- (e^(- x))/(2) (s e n (x) + cos (x))}

y = k e^x - (1)/(2) (s e n (x) + cos (x))

Lembrem-se de retornar as variáveis originais!!!

x = k e^t - (1)/(2) (s e n (t) + cos (t))

Resposta

x = k e^t - (1)/(2) (s e n (t) + cos (t))

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