Um objeto aquecido a 100 ℃ é colocado em um quarto a uma temperatura ambiente de 20 ℃ ; um minuto após a temperatura do objeto passa a 90 ℃ . Admitindo a lei de resfriamento de Newton que a temperatura T = T ( t ) do objeto esteja variando a uma taxa proporcional à diferença entre a temperatura do objeto e a do quarto, isto é,

d T d t = ∝ T - 20 ,   ∝ c o n s t a n t e ,

Determine a temperatura do objeto no instante t . Suponha t em minutos.

Passo 1

Sabemos a equação da variação da temperatura em função do tempo, porém, com o Teorema Fundamental do Cálculo nos amparando, podemos encontrar a função que rege a temperatura em função do tempo!

Sendo uma constante, vamos separar as variáveis:

d T T - 20 = ∝ d t

Após isso, podemos integrar ambos os lados da equação:

∫ d T T - 20 = ∫ ∝ d t

ln ⁡ ( T - 20 ) = ∝ t + k

Agora, vamos elevar ambos os lados da equação a e , que é a base do logaritmo:

T - 20 = e ∝ t + k

T t = 20 + e ∝ t + k

Passo 2

Depois de encontrarmos a equação que rege a temperatura em função do tempo, por se tratar de um PVI (problema de valor inicial), conseguimos eliminar a constante k e encontrar o valor de .

No início, ou seja, no instante t = 0 a temperatura era 100 ℃ , logo:

T 0 = 100 ℃

Um minuto após, a temperatura passa a ser 90 ℃ :

T 1 = 90 ℃

Logo:

      T 0 = 100 ℃ T 1 = 90 ℃

Vamos lá:

T t = 20 + e ∝ t + k

T 0 = 100 = 20 + e k ⇒ e k = 80 ; E q . 1

Por consequência:

T 1 = 90 = 20 + e ∝ + k ⇒ e ∝ e k = 70

Aplicando E q . 1 :

e ∝ ∙ 80 = 70 ⇒ e ∝ = 7 8 ; E q . 2

Tendo ambos os valores em mãos, vamos direto ao ponto!!!

T t = 20 + e ∝ t + k

T t = 20 + ( e ∝ ) t ∙ e k  

T t = 20 + 80 ∙ 7 8 t

Resposta

T t = 20 + 80 ∙ 7 8 t

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