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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol. 4 - Ed: 5º - Capítulo 3.4 - Ex. 7

Considera a série:

∑ n = 1 + ∞ a n ,

com a n > 0 para todo n ≥ 1 .

Suponha que exista um número real t positivo, com t < 1 , tal que, para todo n ≥ 1 ,

a n + 1 a n < t .

Prove que a série é convergente.

Passo 1

Meus lindos, o enunciado da questão nos garantes duas coisas importantíssimas para a resolução:

a n + 1 a n < t t < 1

Com isso, ao mesclarmos as duas equações:

a n + 1 a n < t < 1

Ora ora, meus queridos detetives, se:

a n + 1 a n < t

E:

t < 1

Por consequência:

a n + 1 a n < 1

Passo 2

Agora, vamos fazer essa equação tender ao infinito (e além):

l i m n → + ∞ a n + 1 a n < l i m n → + ∞ 1

l i m n → + ∞ a n + 1 a n < 1

Essa relação te lembra alguma outra? Sim, resposta certa, essa relação te lembra o teste da razão, enunciado abaixo:

Seja a série ∑ k = 0 + ∞   a k , com a k > 0 para todo k ≥ q , onde q é um natural fixo. Suponhamos que lim k → + ∞ ⁡ a k + 1   a k exista, finito ou infinito. Seja:

L = lim k → + ∞ ⁡ a k + 1 a k

Então,

a) L < 1 ⇒ ∑ k = 0 + ∞   a k é convergente.

b)   L > 1   o u   L = + ∞ ⇒ ∑ k = 0 + ∞   a k é divergente.

c) Se L = 1 , o critério não nos revela nada.

Portanto, conseguimos provar que a série é convergente.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro