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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol. 4 - Ed: 5º - Capítulo 3.2 - Ex. 2

Considere a série ∑ k = 0 + ∞ a k , com a k ≥ 0 , para todo k . Suponha a k = 1 k α ⋅ b k , k ≥ p . Prove que se lim k → + ∞ ⁡ b k = 0 e se α > 1 , então ∑ k = 0 + ∞ a k será convergente. (Sugestão: Utilize o critério do limite.)

Passo 1

Nesse problema iremos aplicar o teste do limite e manipular um pouco para chegarmos que lim ⁡ b k = 0 . Vamos precisar usar também algumas propriedades de limite, então precisamos lembrar que

lim ⁡ a ⋅ b = lim ⁡ a ⋅ lim ⁡ b

lim ⁡ a b = lim ⁡ a lim ⁡ b .

Passo 2

Bom, vamos começar. Vamos aplicar para esse exercício o teste do limite. Temos que a k = 1 k α ⋅ b k e vamos considerar uma sequência c k qualquer, supondo que a mesma é convergente. Se fizermos agora a k / c k , vamos ter que:

lim k → + ∞ ⁡ 1 k α ⋅ b k c k

Se aplicarmos agora as propriedades de limites. Podemos escrever a expressão acima como

lim k → + ∞ ⁡ 1 k α ⋅ l i m k → + ∞ b k lim k → + ∞ ⁡ c k

Se supormos agora que lim k → + ∞ ⁡ b k = 0 , ainda teremos mais um caso para avaliar, pois se o expoente que aparecer em k for igual a um, teremos uma indeterminação do tipo + ∞ ⋅ 0 , assim temos que necessariamente o expoente de k ser maior que um, pois todos os valores da série harmônica será convergente. E mais! Precisamos também que lim k → + ∞ ⁡ c k ≠ 0 . Ai poderemos dizer que

∑ k = 0 + ∞ a k

é convergente.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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