Seja a_n = (3.5 . 7 . ... . (2 n + 1))/(2.4 . 6 . ... . 2 n) . (1)/(sqrt(n)) .

  1. Mostre que a_n é decrescente.

Passo 1

Bom galerinha, se a série é decrescente:

a_n > a_n + 1

Se é assim:

(a_n + 1)/(a_n) < 1

Vamos achar o termo a_n + 1 separadamente?

a_n + 1 = (3.5 . 7 . ... . (2 ( n + 1 ) + 1))/(2.4 . 6 . ... . 2 ( n + 1 )) . (1)/(sqrt(n + 1)) = (3.5 . 7 . ... . (2 n + 3))/(2.4 . 6 . ... . ( 2 n + 2 )) . (1)/(sqrt(n + 1))

Colocando na razão:

(a_n + 1)/(a_n) = ((3.5 . 7 . ... . (2 n + 3))/(2.4 . 6 . ... . ( 2 n + 2 )) . (1)/(sqrt(n + 1)))/((3.5 . 7 . ... . (2 n + 1))/(2.4 . 6 . ... . 2 n) . (1)/(sqrt(n))) = (3.5 . 7 . ... . (2 n + 3))/(2.4 . 6 . ... . ( 2 n + 2 )) . (1)/(sqrt(n + 1)) xx (2.4 . 6 . ... . 2 n)/(3.5 . 7 . ... . (2 n + 1)) . (sqrt(n))/(1)

(a_n + 1)/(a_n) = (2 n + 3)/(2 n + 2) . (sqrt(n))/(sqrt(n + 1))

Para os valores de n:

(2 n + 3)/(2 n + 2) . (sqrt(n))/(sqrt(n + 1)) < 1

Ou seja, função decrescente ! :P

Tranquilinha, né?

Resposta

C o m o v i s t o a c i m a ‼

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