4 - Faça um esboço das trajetórias das soluções para suficientemente grande:
Passo 1
Essas equações são equações independentes entre si, então podemos resolvê-las separadamente!
PRIMEIRA EQUAÇÃO:
Primeiro, vamos encontrar a resposta da homogênea:
Ora, essa equação dá para saber a resposta sem mesmo resolver, né? Quem é a função cuja derivada é ela mesma com o sinal trocado?
Agora vamos encontrar a resposta da particular por variação de parâmetros. Se a função que a torna não homogênea é , uma função do primeiro grau, então essa será a solução particular também, ou seja, uma função do primeiro grau:
Derivando...
Agora substituindo na EDO...
Veja então que para isso ser verdadeiro...
E
Então a solução geral para será:
Passo 2
SEGUNDA EQUAÇÃO:
A homogênea dela...
É parecida com a primeira:
A diferença vai ser na constante já que as duas equações são independentes, e podem ser números diferentes também, saca?
A particular nesse caso será apenas uma constante , já que só tem somado ao :
Derivando...
E substituindo...
Então a solução aqui será:
Passo 3
Beleza, então as duas respostas em função do tempo são:
Para qualquer valor de , teremos as mesmas respostas:
Poxa, ambas as equações, muito próximo do infinito, as exponenciais serão basicamente , e as soluções vão tender a:
Isso significa que a resposta tende a essa reta aqui:
Onde o é sempre e o é sempre variável!