Considere a equação:

(x - 2 y) d x + (y + 2 x) d y = 0

a) Verifique que:

{[[x = e^(- 2 t) cos t],[y = e^(- 2 t) s e n t]])

É solução.

Passo 1

Primeiramente devemos encontrar d x e d y :

{[[d x = - e^(- 2 t) ( s e n t + 2 cos t ) d t],[d y = e^(- 2 t) (cos t - 2 s e n t) d t]])

Agora rearranjamos a equação dada:

(d y)/(d x) = (( x - 2 y ))/(- ( y + 2 x ))

Passo 2

Substituindo os termos:

(e^(- 2 t) (cos t - 2 s e n t) d t)/(- e^(- 2 t) ( s e n t + 2 cos t ) d t) = (e^(- 2 t) cos t - 2 e^(- 2 t) s e n t)/(- ( e^(- 2 t) s e n t + 2 e^(- 2 t) cos t ))

Simplificando:

(( cos t - 2 s e n t ))/(- ( s e n t + 2 cos t )) = (( cos t - 2 s e n t ))/(- ( s e n t + 2 cos t ))

Abrindo a equação:

(cos t - 2 s e n t) (- s e n t - 2 cos t) = ( cos t - 2 s e n t ) ( - s e n t - 2 cos t )

- cos t s e n t - 2 cos^2 t + 2 s e n^2 t + 4 cos t s e n t = - cos t s e n t - 2 cos^2 t + 2 s e n^2 t + + 4 cos t s e n t

Simplificando:

- 2 cos^2 t + 2 s e n^2 t + 3 cos t s e n t = - 2 cos^2 t + 2 s e n^2 t + 3 cos t s e n t

0 = 0

É S o l u ç ã o !

Resposta

É S o l u ç ã o !

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