Considere a equação

m x + n y d x + p x + q y d y = 0 ,   x , y ∈ Ω

Onde Ω é o semiplano y > 0 ; m ,   n ,   p   e q são constantes dadas e n = - p . Suponha, ainda m > 0 e q > 0 . Prove que:

1 m x 2 + q y 2

É um fator integrante.

Passo 1

Inicialmente, chamaremos o fator integrante de μ , então temos que:

μ = 1 m x 2 + q y 2

Também definiremos M e N das equações diferenciais exatas, tais que:

m x + n y d x + p x + q y d y = 0

Teremos:

M = m x + n y e N = p x + q y

Passo 2

Para que μ seja um fator integrante, a equação deve ser não exata, visto que, o fator integrante será um “fator” que ao se multiplicar pela equação, fará com que a equação se torne exata.

Ou seja,

d M d y ≠ d N d x , e, depois de encontrado o fator integrante, teremos que:

μ M d x + μ N d y = 0

Ou seja,

d μ M d y = d μ N d x

Passo 3

Se aplicarmos a regra do produto na equação acima, obteremos:

d μ d y M + μ d M d y = d μ d x N + μ d N d x

Precisamos obter os “valores” de cada denominação desta equação, para isso, precisamos encontrar as derivadas de M ( d M d y ) e de N ( d N d x ) .

Para ficar mais claro, chamaremos:

d M d y = n e d N d y = p

Passo 4

Também será preciso a derivada de μ , faremos:

μ = 1 m x 2 + q y 2

Para ficar mais fácil a visualização, chamaremos:

m x 2 + q y 2 = a

Ou seja,

μ = 1 a

Derivando pela regra da cadeia ( d μ d y = d μ d a ⋅ d a d y ) e d μ d x = d μ d a ⋅ d a d x )

Encontramos:

d μ d y = - 1 a 2 ⋅ 2 q y

d μ d x = - 1 a 2 ⋅ 2 m x

Passo 5

Nas equações encontradas, substituiremos a = m x 2 + q y 2

Então:

d μ d y = - 1 m x 2 + q y 2 2 ⋅ 2 q y

d μ d x = - 1 m x 2 + q y 2 2 ⋅ 2 m x

Passo 6

Agora que temos os valores das derivadas, retornaremos para a equação para fazer a conferência:

d μ d y M + μ d M d y = d μ d x N + μ d N d x

- 2 q y m x 2 + q y 2 2 ⋅ m x + n y + 1 m x 2 + q y 2 ⋅ n = 2 m x m x 2 + q y 2 2 ⋅ p x + q y + 1 m x 2 + q y 2 ⋅ p

Simplificando, temos que:

- 2 q y m x - 2 q n y 2 m x 2 + q y 2 2 + n m x 2 + q y 2 = - 2 m p x 2 - 2 m x q y m x 2 + q y 2 2 + p m x 2 + q y 2

Fazendo as operações de soma nos dois lados das equações, obtemos:

- 2 q y m x - 2 q n y 2 + n ( m x 2 + q y 2 ) m x 2 + q y 2 2 = - 2 q y m x - 2 m p x 2 + p ( m x 2 + q y 2 ) m x 2 + q y 2 2

Passo 7

Observa-se que como os dois lados da equação tem os mesmos denominadores, podemos cancelá-los, e, sabendo que: n = - p , substituiremos nas equações, obtendo assim:

- 2 q y m x - 2 q ( - p ) y 2 + - p m x 2 + q y 2 = - 2 q y m x - 2 m p x 2 + p ( m x 2 + q y 2 )

Passando tudo para o mesmo lado da equação, temos que:

- 2 q y m x + 2 q p y 2 - p m x 2 + q y 2 + 2 q y m x + 2 m p x 2 - p m x 2 + q y 2 = 0

Simplificando, obtemos:

2 q p y 2 + 2 m p x 2 - 2 p m x 2 + q y 2 = 0

2 p q y 2 + m x 2 - 2 p m x 2 + q y 2 = 0

Logo,

0 = 0

Portanto, 1 m x 2 + q y 2 é fator integrante da equação dada.

Resposta

A equação:

1 m x 2 + q y 2

É fator integrante da equação dada.

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