Considere a equação
Onde Ω é o semiplano e são constantes dadas e . Suponha, ainda e . Prove que:
É um fator integrante.
Passo 1
Inicialmente, chamaremos o fator integrante de , então temos que:
Também definiremos M e N das equações diferenciais exatas, tais que:
Teremos:
e
Passo 2
Para que seja um fator integrante, a equação deve ser não exata, visto que, o fator integrante será um “fator” que ao se multiplicar pela equação, fará com que a equação se torne exata.
Ou seja,
, e, depois de encontrado o fator integrante, teremos que:
Ou seja,
Passo 3
Se aplicarmos a regra do produto na equação acima, obteremos:
Precisamos obter os “valores” de cada denominação desta equação, para isso, precisamos encontrar as derivadas de M e de N.
Para ficar mais claro, chamaremos:
e
Passo 4
Também será preciso a derivada de , faremos:
Para ficar mais fácil a visualização, chamaremos:
Ou seja,
Derivando pela regra da cadeia () e )
Encontramos:
Passo 5
Nas equações encontradas, substituiremos
Então:
Passo 6
Agora que temos os valores das derivadas, retornaremos para a equação para fazer a conferência:
Simplificando, temos que:
Fazendo as operações de soma nos dois lados das equações, obtemos:
Passo 7
Observa-se que como os dois lados da equação tem os mesmos denominadores, podemos cancelá-los, e, sabendo que: , substituiremos nas equações, obtendo assim:
Passando tudo para o mesmo lado da equação, temos que:
Simplificando, obtemos:
Logo,
Portanto, é fator integrante da equação dada.
Resposta
A equação:
É fator integrante da equação dada.