Suponha que x = φ ( t ) , t   ϵ   I , seja solução da equação

x ¨ = - 4 x 3

E que satisfaça as condições iniciais φ t 0 = 1 e φ ˙ t 0 = 0 ( t 0 ∈ I ) . Prove que, para todo t ∈ I ,   - 1 ≤ φ t ≤ 1 .

Passo 1

Baseando no E x e m p l o   6   d a   S e ç ã o   10.10

Temos:

x ¨ = - 4 x 3

x ¨ + 4 x 3 = 0

Multiplicando por x ˙ , obtemos

x ¨ x ˙ + 4 x ˙ x 3 = 0

Assim:

d d t x ˙ 2 2 + x 4 = x ¨ x ˙ + 4 x ˙ x 3

Logo, existe uma constante c tal que, para todo t ∈ I :

x ˙ 2 2 + x 4 = c

Pela condição inicial x = φ ( t ) com φ t 0 = 1 e φ ˙ t 0 = 0 , temos:

c = 1

Então:

x ˙ 2 2 + x 4 = 1

Passo 2

Desse modo, temos que:

x ˙ 2 2 = 1 - x 4

x ˙ = 2 - 2 x 4

d x d t = 2 - 2 x 4

Separando as variáveis:

d t = d x 2 - 2 x 4

∫ d t = ∫ d x 2 - 2 x 4

Passo 3

Calculando t :

∫ 0 t d t = ∫ - 1 1 d x 2 - 2 x 4

∫ 0 t d t = 1 2 ∫ - 1 1 d x 1 - x 4

Integrando:

t = 1 2 2 a r c s e n   x 2 1 - 1

t = 1 2 2 a r c s e n   1 2 - a r c s e n   - 1 2

t = 0

Resposta

t = 0

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