Considere a equação:

x - 2 y d x + y + 2 y d y = 0

c) Utilizando o item a e o exercício anterior, conclua que as equações:

x 2 + y 2 e 4 . a r c   t g   y x   = k

Definem implicitamente uma família da solução dada.

Passo 1

Vamos seguindo turminha?

Da letra (a) nós podemos concluir que:

x = k . e - 2 t cos ⁡ t → cos ⁡ t = x k . e - 2 t

y = k . e - 2 t s en ⁡ t → s en ⁡ t = y k . e - 2 t

Como queremos algo em função da a r c   t g vamos começar achando a tg, ok?

t g   t = sen ⁡ t cos ⁡ t = y k . e - 2 t x k . e - 2 t = y x

Agora sim podemos a r c   t g :

t = a r c   t g   y x

Passo 2

Se usarmos o teorema fundamental da trigonometria:

sen ⁡ t 2 + cos ⁡ t 2 = 1

Substituindo:

y k . e - 2 t 2 + x k . e - 2 t 2 = 1

x 2 + y 2 e 4 t =   k 2

Substituindo t:

x 2 + y 2 e 4 a r c   t g   y x =   k 2

Como k 2 também é uma constante podemos reescrever como:

x 2 + y 2 e 4 a r c   t g   y x =   k

Portanto, as equações definem implicitamente uma família da solução dada !!

Gostaram?

Resposta

C o m o   v i s t o   a c i m a   ‼

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