9. Considere a equação diferencial
Com a condição inicial . Seja uma função constante definida no intervalo , com , e dada por . Consideremos a sequência de funções
Definidas em . Suponhamos que tais funções sejam obtidas pelo seguinte processo de recorrência:
Uma tal sequência denomina-se, então, sequência de Picard para o problema
A - Determine a sequência de Picard para o problema ,
B - Verifique que tal sequência converge para a solução .
Passo 1
Poxa, sabemos que
Como a EDO que estamos trabalhando é essa daqui:
Podemos falar então que a função é:
O problema nos definiu a sequência de Picard como sendo onde a gente encontra pela integral:
ORA BOLAS! Como , podemos trocar esse por e o por onde vamos obter...
Então essa integral no nosso caso se resume a...
Onde foi definido no enunciado como e no nosso caso. Então ...
Vamos calcular os primeiros termos dessa sequência então ver se encontramos um padrão. Bora lá?
Passo 2
O primeiro termo pode ser encontrado substituindo por :
Ora bolas, sabemos do enunciado que , logo, ele vai ser :
Como a integral de é , substituindo o limite e ...
Beleza, agora vamos ver quem é o segundo termo sessa sequência trocando o por agora...
é a função que agente obteve só que trocando o que é por , saca? Então...
Ta percebendo o que está acontecendo? Parece que estamos aumentando o grau de a cada integração e dividindo por . Vamos ver se é isso mesmo?
Calculando o terceiro elemento então...
AHA!!! De fato tínhamos razão . Olha a sequência que estamos gerando...
Se quisermos o termo dessa sequência basta...
Isso aí é a mesma coisa que essa série aqui:
Afinal, série é uma soma!
Passo 3
Poxa, se fizermos o indo para o infinito aqui podemos, basta aplicar o limite:
Quem é essa série? ISSO! É a exponencial:
Então de fato o limite dessa sequência de Picard é a exponencial !
Resposta
Letra A:
Letra B: