9. Considere a equação diferencial

y ' = f x ,   y

Com a condição inicial y x 0 = y 0 . Seja φ 0 uma função constante definida no intervalo I , com x 0 ∈ I , e dada por φ 0 x = y 0 . Consideremos a sequência de funções

φ 0 ,   φ 1 ,   φ 2 , … ,   φ n ,   …

Definidas em I . Suponhamos que tais funções sejam obtidas pelo seguinte processo de recorrência:

φ n + 1 x = y 0 + ∫ x 0 x f t ,   φ n t d t ,   n ≥ 0

Uma tal sequência denomina-se, então, sequência de Picard para o problema

y ' = f x ,   y   y x 0 = y 0

A - Determine a sequência de Picard para o problema y ' = y , y 0 = 1

B - Verifique que tal sequência converge para a solução y = e x .

Passo 1

Poxa, sabemos que

y ' = f x ,   y

Como a EDO que estamos trabalhando é essa daqui:

y ' = y

Podemos falar então que a função f x ,   y é:

f x ,   y = y x

O problema nos definiu a sequência de Picard como sendo φ 0 ,   φ 1 ,   φ 2 , … ,   φ n ,   … onde φ n + 1 a gente encontra pela integral:

φ n + 1 x = y 0 + ∫ x 0 x f t ,   φ n t d t ,   n ≥ 0

ORA BOLAS! Como f x ,   y = y x , podemos trocar esse x por t e o y por φ n onde vamos obter...

f t ,   φ n t = φ n t

Então essa integral no nosso caso se resume a...

φ n + 1 x = y 0 + ∫ x 0 x φ n t d t

Onde x 0 foi definido no enunciado como 0 e y x 0 = y 0 = 1 no nosso caso. Então ...

φ n + 1 x = 1 + ∫ 0 x φ n t d t

Vamos calcular os primeiros termos dessa sequência então ver se encontramos um padrão. Bora lá?

Passo 2

O primeiro termo pode ser encontrado substituindo n por 0 :

φ 1 x = 1 + ∫ 0 x φ 0 t d t

Ora bolas, sabemos do enunciado que φ 0 = y 0 , logo, ele vai ser 1 :

φ 1 x = 1 + ∫ 0 x 1 d t

Como a integral de 1 d t é t , substituindo o limite x e 0 ...

φ 1 x = 1 + t 0 x

φ 1 x = 1 + x

Beleza, agora vamos ver quem é o segundo termo sessa sequência trocando o n por 2 agora...

φ 2 x = 1 + ∫ 0 x φ 1 t d t     →

φ 1 t é a função que agente obteve φ 1 x = 1 + x só que trocando o que é x por t , saca? Então...

φ 2 x = 1 + ∫ 0 x 1 + t d t     →

φ 2 x = 1 + t + t 2 2 0 x     →

φ 2 x = 1 + x + x 2 2    

Ta percebendo o que está acontecendo? Parece que estamos aumentando o grau de x a cada integração e dividindo por n ! . Vamos ver se é isso mesmo?

Calculando o terceiro elemento então...

φ n + 1 x = 1 + ∫ 0 x φ n t d t

φ 3 x = 1 + ∫ 0 x φ 2 t d t   →

φ 3 x = 1 + ∫ 0 x 1 + t + t 2 2 d t   →

φ 3 x = 1 + t + t 2 2 + t 3 3 ⋅ 2 0 x   →

φ 3 x = 1 + x + x 2 2 + x 3 3 !  

AHA!!! De fato tínhamos razão . Olha a sequência que estamos gerando...

φ 0 x = 1 ;         φ 1 x = 1 + x ;           φ 2 x = 1 + x + x 2 2 ;                     φ 3 x = 1 + x + x 2 2 + x 3 3 !

Se quisermos o termo n dessa sequência basta...

φ n = 1 + x + x 2 2 + x 3 3 ! + … + x n n !

Isso aí é a mesma coisa que essa série aqui:

φ n = ∑ k = 0 n x k k !

Afinal, série é uma soma!

Passo 3

L e t r a   B :

Poxa, se fizermos o k indo para o infinito aqui podemos, basta aplicar o limite:

lim n → ∞ ⁡ φ n = lim k → ∞ ⁡ ∑ k = 0 n x k k !       →

∑ k = 0 ∞ x k k !

Quem é essa série? ISSO! É a exponencial:

lim n → ∞ ⁡ φ n = e x

Então de fato o limite dessa sequência de Picard é a exponencial !

Resposta

Letra A:

φ n = ∑ k = 0 n x k k !

Letra B:

lim n → ∞ ⁡ φ n = e x

Ver Outros Exercícios desse livro