26. Suponha que

x = x t y = y t

Seja solução do sistema

d x d t = - 2 y   d y d t = x

E que x 0 = 0 e y 0 = 0 . Prove que, para todo t ∈ R ,

x t 2 + 2 y t 2 = 0

Conclua que, para todo t ∈ R

x t = 0       e         y t = 0

Passo 1

A primeira coisa a se fazer aqui certamente é resolver esse sistema de EDO’s, certo? SIM!!!

d x d t = - 2 y   d y d t = x

Para resolver isso, vamos fazer o seguinte: com a primeira equação, vamos derivar novamente:

d x d t = - 2 y       →             d 2 x d t 2 = - 2 d y d x

Como d y / d x é a derivada presente na segunda equação, podemos substituir onde vamos ganhar...

d 2 x d t 2 = - 2 x

Para simplificar a notação, vou chamar d 2 x d t 2 de x ' ' , ok?

x ' ' = - 2 x     →

x ' ' + 2 x = 0

Agora, temos que resolver essa EDO de segunda ordem! Bora?

Passo 2

Essa EDO de 2ª Ordem pode ser resolvida usando uma equação característica:

x ' ' + 2 x = 0   →

r 2 + 2 = 0

A resolução dessa Equação característica gera dois números imaginários conjugados:

r = ± - 2     →

r = ± 2 i  

Saca?

Agora eu te pergunto aqui: qual é o modelo de resposta de uma EDO de segunda ordem quando a raiz é imaginária do tipo r = a ± b i ?

x t = c 1 e a t cos ⁡ b t + c 2 e a t sin ⁡ b t

No nosso caso, a = 0 e b = 2 ...

r = ± 2 i         →             a = 0           e           b = 2

Então, como e 0 = 1 ...

x t = c 1 cos ⁡ 2 t + c 2 sin ⁡ 2 t

Passo 3

Ah!!! Acabou?

Não jovem gafanhoto! O intuito é resolver um sistema:

d x d t = - 2 y   d y d t = x

Então temos que encontrar a resposta para y também, saca?

Da primeira equação também, tiramos que...

d x d t = - 2 y     →           y = - 1 2   d x d t

Então derivando a nossa resposta...

x t = c 1 cos ⁡ 2 t + c 2 sin ⁡ 2 t     →

d x d t = - 2 c 1 sin ⁡ 2 t + 2 c 2 cos ⁡ 2 t

Portanto...

y = - 1 2   d x d t   →

y = - 1 2   - 2 c 1 sin ⁡ 2 t + 2 c 2 cos ⁡ 2 t     →

y = 2 2 c 1 sin ⁡ 2 t - 2 2 c 2 cos ⁡ 2 t

Passo 4

Ahhh! Faltava encontrar o y , mas agora acabou néh?

Afinal, temos ainda que provar que isso aqui:

x t 2 + 2 y t 2 = 0

Acontece! Claro, primeiro temos que aplicar as condições iniciais e x 0 = 0 e y 0 = 0 :

x t = c 1 cos ⁡ 2 t + c 2 sin ⁡ 2 t     →

x 0 = c 1 cos ⁡ 0 + c 2 sin ⁡ 0     →

0 = c 1  

Já quanto ao y :

y = 2 2 c 1 sin ⁡ 2 t - 2 2 c 2 cos ⁡ 2 t

y 0 = 2 2 c 1 sin ⁡ 0 - 2 2 c 2 cos ⁡ 0   →

0 = - 2 2 c 2 cos ⁡ 0   →

c 2 = 0

Logo, as soluções para essas condições são:

x t = 0

y t = 0

EPA! Então já descobrimos que as funções são nulas para todo t .

Passo 5

Agora vamos verificar se isso aqui está certo ou não:

x t 2 + 2 y t 2 = 0   →

0 2 + 2 0 2 = 0   →

0 = 0  

ORA! Isso de fato é verdade!

Resposta

Questão de demonstração.

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