26. Suponha que
Seja solução do sistema
E que e . Prove que, para todo ,
Conclua que, para todo
Passo 1
A primeira coisa a se fazer aqui certamente é resolver esse sistema de EDO’s, certo? SIM!!!
Para resolver isso, vamos fazer o seguinte: com a primeira equação, vamos derivar novamente:
Como é a derivada presente na segunda equação, podemos substituir onde vamos ganhar...
Para simplificar a notação, vou chamar de , ok?
Agora, temos que resolver essa EDO de segunda ordem! Bora?
Passo 2
Essa EDO de 2ª Ordem pode ser resolvida usando uma equação característica:
A resolução dessa Equação característica gera dois números imaginários conjugados:
Saca?
Agora eu te pergunto aqui: qual é o modelo de resposta de uma EDO de segunda ordem quando a raiz é imaginária do tipo ?
No nosso caso, e ...
Então, como ...
Passo 3
Ah!!! Acabou?
Não jovem gafanhoto! O intuito é resolver um sistema:
Então temos que encontrar a resposta para também, saca?
Da primeira equação também, tiramos que...
Então derivando a nossa resposta...
Portanto...
Passo 4
Ahhh! Faltava encontrar o , mas agora acabou néh?
Afinal, temos ainda que provar que isso aqui:
Acontece! Claro, primeiro temos que aplicar as condições iniciais e e :
Já quanto ao :
Logo, as soluções para essas condições são:
EPA! Então já descobrimos que as funções são nulas para todo .
Passo 5
Agora vamos verificar se isso aqui está certo ou não:
ORA! Isso de fato é verdade!
Resposta
Questão de demonstração.