Considere a equação linear de 1 ª ordem, com coeficientes variáveis:

d y d x + p ( x ) y = q x

Onde p ( x ) e q ( x ) são supostas contínuas num mesmo intervalo I . Verifique que e ∫ p ( x ) . d x é um fator integrante para a equação:

p x y - q x d x + d y = 0

Conclua que:

y = k e - ∫ p ( x ) . d x + e - ∫ p ( x ) . d x ∫ q ( x ) e ∫ p ( x ) . d x

Onde ∫ p ( x ) . d x está representado uma particular primitiva de p ( x ) e ∫ q ( x ) e ∫ p ( x ) . d x , uma particular primitiva de q x e ∫ p x . d x .   (Compare com o método utilizado na Seção 10.4 deste volume).

Passo 1

Vamos pra mais uma beem legalzonaa !!

Se e ∫ p ( x ) . d x é o fator integrante da igualdade p x y - q x d x + d y = 0 , então nós ficamos assim:

e ∫ p ( x ) . d x p x y - q x d x + e ∫ p ( x ) . d x d y = 0

Para simplificar vamos chamar:

P x ,   y = e ∫ p ( x ) . d x p x y - q x

Q x ,   y = e ∫ p ( x ) . d x

Derivando P em y e Q em x:

P y = p x . e ∫ p ( x ) . d x

Q x = e ∫ p x . d x . d d x ∫ p ( x ) . d x = p x e ∫ p x . d x

Como P y = Q x nós concluímos que a igualdade e ∫ p ( x ) . d x p x y - q x d x + e ∫ p ( x ) . d x d y = 0 é uma equação exata e, por consequência , e ∫ p x . d x é um fator integrante de d y d x + p ( x ) y = q x .

Gostaram?

Resposta

C o m o   v i s t o   a c i m a   ‼

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