Resolva pelo processo que achar mais conveniente

(d y)/(d x) = y + sin x

Passo 1

E já estamos na letra e !!

Vamos reescrever esta equação:

(y + sin x) d x - d y = 0

Para simplificar vamos chamar:

P (x , y) = y + sin x

Q (x , y) = - 1

Derivando P em y e Q em x:

P_y = 1

Q_x = 0

Como as derivada não são iguais esta equação não é exata.

Sendo assim, para resolvê-la nós vamos multiplica-la por uma função mu ( x , y ) para que o produto se torne uma equação exata, ok?

A nossa função mu ( x , y ) é chamada de fator integrante e é determinado pela relação:

mu (x , y) = e^(int (P_y - Q_x)/(Q) . d x)

Substituindo:

mu (x , y) = e^(int (1 - 0)/(- 1) . d x) = e^(int - 1 . d x) = e^(- x)

Multiplicando cada termo por e^(- x) :

(y e^(- x) + e^(- x) sin x) d x - e^(- x) d y = 0

Passo 2

Agora que temos a nossa equação exata podemos dar continuidade, ok?

(d phi)/(d x) = y e^(- x) + e^(- x) sin x

(d phi)/(d y) = - e^(- x)

Olhando a primeira condição:

d phi = (y e^(- x) + e^(- x) sin x) d x

E integrando:

phi = - y e^(- x) + int e^(- x) sin x . d x = - y e^(- x) - (e^(- x) sin x + e^(- x) co s x)/(2)

Olhando a segunda condição:

d phi = - e^(- x) . d y

E integrando:

phi = - y e^(- x)

Ou melhor:

phi = - y e^(- x) - (e^(- x) sin x + e^(- x) cos x)/(2)

Portanto nós concluímos que a igualdade (y e^(- x) + e^(- x) sin x) d x - e^(- x) d y = 0 é exata e suas condições são dadas implicitamente por - y e^(- x) - (e^(- x) sin x + e^(- x) cos x)/(2) = k , em que k é uma constante.

Gostaram, não foi?

Resposta

phi (x , y) = - y e^(- x) - (e^(- x) sin x + e^(- x) cos x)/(2)

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