Determine um fator integrante e resolva.

(2 x + 3 y) d x + x d y = 0 , x > 0

Passo 1

Bora seguir pra letra (e) !!

Para simplificar vamos chamar:

P (x , y) = 2 x + 3 y

Q (x , y) = x

Derivando P em y e Q em x:

P_y = 3

Q_x = 1

Como as derivada não são iguais esta equação não é exata.

Sendo assim, para resolvê-la nós vamos multiplica-la por uma função mu ( x , y ) para que o produto se torne uma equação exata, ok?

A nossa função mu ( x , y ) é chamada de fator integrante e é determinado pela relação:

mu (x , y) = e^(int (P_y - Q_x)/(Q) . d x)

Substituindo:

mu (x , y) = e^(int (3 - 1)/(x) . d x) = e^(int (2)/(x) . d x)

mu (x , y) = e^(4 . ln x) = e^(ln x^2)

mu (x , y) = x^2

Multiplicando cada termo por x^2 :

(2 x^3 + 3 x^2 y) d x + x^3 d y = 0

Passo 2

Agora que temos a nossa equação exata podemos dar continuidade, ok?

(d phi)/(d x) = 2 x^3 + 3 x^2 y

(d phi)/(d y) = x^3

Bom galerinha, vamos começar pela primeira condição:

d phi = (2 x^3 + 3 x^2 y) . d x

Quando nós integramos:

phi = (x^4)/(2) + x^3 y

Olhando a segunda:

d phi = (x^3) . d y

E integrando:

phi = y x^3

Ou melhor:

phi ( x , y ) = (x^4)/(2) + x^3 y

Portanto nós concluímos que a equação (2 x^3 + 3 x^2 y) d x + x^3 d y = 0 é exata e suas condições são dadas implicitamente por (x^4)/(2) + x^3 y = k , em que k é uma constante.

De boa, não é?

Resposta

phi ( x , y ) = (x^4)/(2) + x^3 y

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