Enunciado

10. Suponha que y = f x ,   x ∈ I , seja uma solução, diferente da solução nula da equação

y ' ' + q x y = 0

Onde q x é suposta contínua em I e, para todo x ∈ I , q x < 0 . Prove que f x poderá anular-se no máximo uma vez no intervalo I .

Passo 1

Vamos supor que a função anule 2 vezes em I .

y a = 0           e               y b = 0

  Repare que pela equação...

y ' ' + q x y = 0     →

y ' ' = - q x y

Sendo q x < 0 para todo x , y ' ' possui então o mesmo sinal de y sempre. Se a função se anula duas vezes no intervalo a ,   b , sendo a < b , então existe um c pertencente a esse intervalo que pelo teorema do valor médio...

f ' c = 0

Mas se isso for verdade, e supondo y > 0 para valores de a ,   b então a função terá um ponto de máximo e x = c e, portanto, a função será crescente para valores antes de c e decrescente para valores depois de c , provando que y ' ' deveria ser negativo entre a ,   b . Como assumimos y > 0 isso é um absurdo, pois y ' ' deveria ser também maior que 0 .

Se assumirmos y < 0 e que a função f zera duas vezes em a e b , então a lógica será a mesma, ou seja, deveria existir um c tal que f ' c = 0 , e isso significaria que a função seria decrescente antes de c e o inverso depois, o que significa que y ' ' deveria ser maior que 0 . Um absurdo, pois se y < 0 então y ' ' < 0 .

LOGO... A única alternativa é de que não exista ponto de máximo ou de mínimo, ou seja, a função f x zere apenas uma única vezes em seu domínio.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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