10. Suponha que , seja uma solução, diferente da solução nula da equação

Onde é suposta contínua em e, para todo , . Prove que poderá anular-se no máximo uma vez no intervalo .

Vamos supor que a função anule 2 vezes em .

Repare que pela equação...

Sendo para todo , possui então o mesmo sinal de sempre. Se a função se anula duas vezes no intervalo , sendo , então existe um pertencente a esse intervalo que pelo teorema do valor médio...

Mas se isso for verdade, e supondo para valores de então a função terá um ponto de máximo e e, portanto, a função será crescente para valores antes de e decrescente para valores depois de , provando que deveria ser negativo entre . Como assumimos isso é um absurdo, pois deveria ser também maior que .

Se assumirmos e que a função zera duas vezes em e , então a lógica será a mesma, ou seja, deveria existir um tal que , e isso significaria que a função seria decrescente antes de e o inverso depois, o que significa que deveria ser maior que . Um absurdo, pois se então .

LOGO... A única alternativa é de que não exista ponto de máximo ou de mínimo, ou seja, a função zere apenas uma única vezes em seu domínio.