29. Considere a equação

m x + n y d x + p x + q y d y = 0 ,   x ,   y ∈ Ω

Onde Ω é o semiplano y > 0 ; m ,   n ,   p e q são constantes dadas tais que

n + p 2 - 4 m q < 0

Prove que

1 m x 2 + n + p x y + q y 2

É um fator integrante. Verifique ainda que tal resultado continua válido com

Ω = x ,   y ∈ R 2 |   x ,   y ∉ A

Onde A = x ,   0 ∈ R 2   |   x > 0 . ( A é o semieixo positivo dos x .)

Passo 1

Ora bolas, temos que provar que aquela expressão é um fator integrante dessa equação diferencial aqui:

m x + n y d x + p x + q y d y = 0

Veja que essa equação se parece muuuuito com uma exata, mas provavelmente ela não é, neh? Já que ela precisa de um fator integrante.

De acordo com a nossa teoria, uma EDO que não é exata, ela pode se transformar em uma pegando o fator integrante e multiplicando por toda ela:

1 m x 2 + n + p x y + q y 2 m x + n y d x + 1 m x 2 + n + p x y + q y 2 p x + q y d y = 0   →

AGORA SIM! Se esse termo de fator for um fator integrante, então ele acabou de transformar a nossa EDO em exata e que possui esse formato aqui:

M x ,   y d x + N x ,   y d y = 0

Para verificar basta calcular essas duas derivadas:

∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x  

E ver se são iguais ou não, saca?

Passo 2

Substituindo o M e o N :

∂ ∂ y m x + n y m x 2 + n + p x y + q y 2 = ∂ ∂ x p x + q y m x 2 + n + p x y + q y 2

E derivando conforme a regra da fração nos manda...

m x 2 + n + p x y + q y 2 ∂ ∂ y m x + n y - m x + n y ∂ ∂ y m x 2 + n + p x y + q y 2 m x 2 + n + p x y + q y 2 2 = m x 2 + n + p x y + q y 2 ∂ ∂ x p x + q y - p x + q y ∂ ∂ x m x 2 + n + p x y + q y 2 m x 2 + n + p x y + q y 2 2

Que expressões gigantes, neh? CALMA!!! Muita coisas aí vão se simplificar . Perceba que os denominadores dos dois lados já podem sumir:

m x 2 + n + p x y + q y 2 ∂ ∂ y m x + n y - m x + n y ∂ ∂ y m x 2 + n + p x y + q y 2 = m x 2 + n + p x y + q y 2 ∂ ∂ x p x + q y - p x + q y ∂ ∂ x m x 2 + n + p x y + q y 2

Aquelas derivadas dos parênteses pequininhas também são mais fáceis e já podem ser calculadas:

m x 2 + n + p x y + q y 2 n - m x + n y ∂ ∂ y m x 2 + n + p x y + q y 2 = m x 2 + n + p x y + q y 2 p - p x + q y ∂ ∂ x m x 2 + n + p x y + q y 2

Agora vêm essas últimas derivadas. Como sabemos que...

∂ ∂ y m x 2 + n + p x y + q y 2 = n + p x + 2 q y

∂ ∂ x m x 2 + n + p x y + q y 2 = 2 m x + n + p y

Então...

m x 2 + n x y + p x y + q y 2 n - m x + n y n x + p x + 2 q y = m x 2 + n x y + p x y + q y 2 p - p x + q y 2 m x + n y + p y   →

m n x 2 + n 2 x y + n p x y + n q y 2 - m n x 2 + m p x 2 + 2 q m x y + n 2 y x + n p y x + 2 q n y 2 = m p x 2 + n p x y + p 2 x y + p q y 2 - 2 m p x 2 + p n x y + p 2 x y + 2 q m x y + q n y 2 + q p y 2   →

Agora chegou a hora de baixar o samurai e sair cortando todos esses termos aí tanto de um lado quanto de outro, ficando apenas com:

- n q y 2 - m p x 2 - 2 q m x y = - m p x 2 - 2 q m x y - q n y 2   →

Veja que o lado direito é igual ao lado esquerdo, ou seja:

0 = 0  

AHA! Como não chegamos a nenhum absurdo, como por exemplo, 1 = 0 , é porque de fato as derivadas...

∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x  

São iguais! Logo, está provado que a EDO é exata com esse fator integrante dado.

Passo 3

Perceba que se substituirmos x e y por - 1 na equação exata:

1 m x 2 + n + p x y + q y 2 m x + n y d x + 1 m x 2 + n + p x y + q y 2 p x + q y d y = 0   →

1 m - x 2 + n + p - x - y + q - y 2 m - x + n - y d x + 1 m - x 2 + n + p - x - y + q - y 2 p - x + q - y d y = 0   →

Voltaremos ter a mesma equação:

1 m x 2 + n + p x y + q y 2 m x + n y d x + 1 m x 2 + n + p x y + q y 2 p x + q y d y = 0  

O que prova que o semiplano negativo também funcionará!

Se y for igual a 0 , aí teremos:

1 x d x + p m x d y = 0

E essa EDO só será exata se:

∂ ∂ y 1 x = ∂ ∂ x p m x     →

0 = p m - 1 x 2

Nesse caso, p tem que ser 0 e a EDO ficará somente:

1 x d x = 0

Como essa EDO não possui soluções, então concluímos que de fato y não pode ser 0 logo a EDO só será exata se:

Ω = x ,   y ∈ R 2 |   x ,   y ∉ A

Onde A = x ,   0 ∈ R 2   |   x > 0 . ( A é o semieixo positivo dos x .)

Resposta

Questão de demonstração.

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