29. Considere a equação
Onde é o semiplano ; e são constantes dadas tais que
Prove que
É um fator integrante. Verifique ainda que tal resultado continua válido com
Onde . ( é o semieixo positivo dos .)
Passo 1
Ora bolas, temos que provar que aquela expressão é um fator integrante dessa equação diferencial aqui:
Veja que essa equação se parece muuuuito com uma exata, mas provavelmente ela não é, neh? Já que ela precisa de um fator integrante.
De acordo com a nossa teoria, uma EDO que não é exata, ela pode se transformar em uma pegando o fator integrante e multiplicando por toda ela:
AGORA SIM! Se esse termo de fator for um fator integrante, então ele acabou de transformar a nossa EDO em exata e que possui esse formato aqui:
Para verificar basta calcular essas duas derivadas:
E ver se são iguais ou não, saca?
Passo 2
Substituindo o e o :
E derivando conforme a regra da fração nos manda...
Que expressões gigantes, neh? CALMA!!! Muita coisas aí vão se simplificar . Perceba que os denominadores dos dois lados já podem sumir:
Aquelas derivadas dos parênteses pequininhas também são mais fáceis e já podem ser calculadas:
Agora vêm essas últimas derivadas. Como sabemos que...
Então...
Agora chegou a hora de baixar o samurai e sair cortando todos esses termos aí tanto de um lado quanto de outro, ficando apenas com:
Veja que o lado direito é igual ao lado esquerdo, ou seja:
AHA! Como não chegamos a nenhum absurdo, como por exemplo, , é porque de fato as derivadas...
São iguais! Logo, está provado que a EDO é exata com esse fator integrante dado.
Passo 3
Perceba que se substituirmos e por na equação exata:
Voltaremos ter a mesma equação:
O que prova que o semiplano negativo também funcionará!
Se for igual a , aí teremos:
E essa EDO só será exata se:
Nesse caso, tem que ser e a EDO ficará somente:
Como essa EDO não possui soluções, então concluímos que de fato não pode ser logo a EDO só será exata se:
Onde . ( é o semieixo positivo dos .)
Resposta
Questão de demonstração.